Questão 51. Seja
anel comutativo com identidade e
ideal. Mostre que
a)
é um sistema multiplicativo em
se, e somente se,
é ideal primo.
b) O conjunto
é o único ideal maximal no anel
.
a)
b) O conjunto
Passo 1
O enunciado dá um anel comutativo
com identidade e um ideal
.
Conteúdo: caracterização de ideal primo via sistemas multiplicativos e teoria de localização de anéis.
Objetivo da parte (a): mostrar que
Conteúdo: caracterização de ideal primo via sistemas multiplicativos e teoria de localização de anéis.
Objetivo da parte (a): mostrar que
é um sistema multiplicativo em
se, e somente se,
é primo.
Objetivo da parte (b): no anel localizado
Objetivo da parte (b): no anel localizado
mostrar que
é o único ideal maximal.
Passo 2
Definição de sistema multiplicativo em
: um subconjunto
tal que
-
, - se
então .
Mostramos “”: suponha primo. Então (ideal primo é próprio), logo . Se então ; como é primo, , isto é, . Assim é multiplicativo.
Mostramos “”: suponha que seja multiplicativo. Primeiro, implica , logo . Agora, se e ambos e não pertencem a , então e pelo fecho multiplicativo , uma contradição. Logo, em toda fatoração exige ou , e é primo.
Passo 3
Construção da localização
: elementos são frações
com
,
e frações equivalentes por regra usual. Definimos
É direto verificar que
é um ideal de
: soma e produto por qualquer
permanecem na forma
com
.
Passo 4
Para ver que
é maximal, consideramos o homomorfismo natural
A imagem de
gera o quociente e
. Pelo Teorema do Primeiro Isomorfismo,
Como
é primo,
é corpo, logo
é corpo e
é maximal.
Passo 5
Unicidade de
: há bijeção inclusiva-reversora entre Ideais de
disjuntos de
e Ideais de
. Qualquer ideal maximal em
vem de um ideal primo
com
. Mas
, então a única possibilidade é
. Portanto o único ideal maximal de
é
.
Resposta
(a)
é sistema multiplicativo em
se, e somente se,
é primo.
(b) é o único ideal maximal em
.
(b)