Questão 52. Seja
A=\mathbb{Z}[\sqrt{10}]=\{a+b \sqrt{10} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} .
Mostre que 2 é um elemento irredutível, mas não é um elemento primo.

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar no anel
A = \mathbb{Z}[\sqrt{10}] = \{\,a + b\sqrt{10}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}
e mostrar que o elemento 2\in A é irreduzível (não se escreve como produto de pares de não‐unidades) mas não é primo (existe produto que 2 divide sem dividir nenhum dos fatores). Para isso vamos usar a norma N\colon A\to\mathbb{Z} e depois construir um contra-exemplo à primalidade.

Passo 2

Definimos a norma de um elemento genérico x=a+b\sqrt{10} em A por
N(a+b\sqrt{10}) = a^2 - 10\,b^2,
que satisfaz sempre
N(xy) = N(x)\,N(y),
e os únicos elementos de norma \pm1 são as unidades de A.

Passo 3

Para ver que 2 é irreduzível, note que
N(2) = N(2+0\sqrt{10}) = 2^2 - 10\cdot0^2 = 4.
Se houvesse uma fatoração 2 = \alpha\beta com \alpha,\beta não-unidades, teríamos
4 = N(2) = N(\alpha)\,N(\beta),
logo os pares \bigl(N(\alpha),N(\beta)\bigr) seriam (1,4), (2,2) ou (4,1). Caso algum deles valesse 1, isso implicaria que \alpha ou \beta é unidade, o que não vale para uma fatoração em não-unidades. Resta a possibilidade N(\alpha)=N(\beta)=2. Mas a equação diophantina
a^2 -10b^2 = \pm2
não admite solução inteira (testando b=0,\pm1,\pm2,\dots vê-se que a^2 nunca fica em 8 nem 12). Logo não existem elementos de norma \pm2 em A. Concluímos que não há fatoração não-trivial de 2, ou seja, 2 é irreduzível.

Passo 4

Agora, para ver que 2 não é primo, clareie a definição: p é primo se p\mid(\alpha\beta) implica p\mid\alpha ou p\mid\beta. Em A tome
\alpha = \sqrt{10}, \quad \beta = \sqrt{10}.
Então \alpha\beta = 10, e como 10 = 2\cdot5 temos 2\mid(\alpha\beta). Mas se precisássemos ter 2\mid\sqrt{10}, existiriam c,d\in\mathbb{Z} tais que
\sqrt{10} = 2\,(c + d\sqrt{10})
o que leva às igualdades
0 = 2c, \quad 1 = 2d
no coeficiente de \sqrt{10}. Da primeira vem c=0, da segunda d=\tfrac12\notin\mathbb{Z}. Logo 2 não divide \sqrt{10}. O mesmo argumento vale para o outro fator. Assim 2\mid(\alpha\beta) mas não divide nem \alpha nem \beta, mostrando que 2 não é primo em A.

Resposta

2 é irreduzível em \mathbb{Z}[\sqrt{10}], mas não é primo.

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