Questão 52. Seja
Mostre que 2 é um elemento irredutível, mas não é um elemento primo.
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar no anel
e mostrar que o elemento
é irreduzível (não se escreve como produto de pares de não‐unidades) mas não é primo (existe produto que
divide sem dividir nenhum dos fatores). Para isso vamos usar a norma
e depois construir um contra-exemplo à primalidade.
Passo 2
Definimos a norma de um elemento genérico
em
por
que satisfaz sempre
e os únicos elementos de norma
são as unidades de
.
Passo 3
Para ver que
é irreduzível, note que
Se houvesse uma fatoração
com
não-unidades, teríamos
logo os pares
seriam
,
ou
. Caso algum deles valesse
, isso implicaria que
ou
é unidade, o que não vale para uma fatoração em não-unidades. Resta a possibilidade
. Mas a equação diophantina
não admite solução inteira (testando
vê-se que
nunca fica em
nem
). Logo não existem elementos de norma
em
. Concluímos que não há fatoração não-trivial de
, ou seja,
é irreduzível.
Passo 4
Agora, para ver que
não é primo, clareie a definição:
é primo se
implica
ou
. Em
tome
Então
, e como
temos
. Mas se precisássemos ter
, existiriam
tais que
o que leva às igualdades
no coeficiente de
. Da primeira vem
, da segunda
. Logo
não divide
. O mesmo argumento vale para o outro fator. Assim
mas não divide nem
nem
, mostrando que
não é primo em
.