Questão 52. Seja \varphi(x) função diferenciável com derivada \varphi^{\prime}(x) contínua no intervalo [0,1] satisfazendo
\varphi^{\prime}(x)-2 \varphi(x) \leq 1, \quad \varphi(0)=1 .

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função diferenciável \varphi em [0,1] com derivada contínua, satisfazendo
\varphi'(x)-2\,\varphi(x)\le1,
e a condição inicial \varphi(0)=1.
O conteúdo principal é comparar \varphi com a solução da equação linear
y'(x)-2\,y(x)=1,\quad y(0)=1,
usando fator integrante e um argumento de desigualdade para equações lineares.

Passo 2

Vamos primeiro resolver a equação associada
y'(x)-2\,y(x)=1
por fator integrante. O fator integrante é \mu(x)=e^{-2x}, pois
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-2x}\bigr) = y'\,e^{-2x}-2\,y\,e^{-2x} = e^{-2x}\bigl(y'-2\,y\bigr) = e^{-2x}\cdot1.
Integrando, obtemos
y(x)\,e^{-2x}=\int e^{-2x}\,dx + C = -\tfrac12\,e^{-2x}+C,
então
y(x)=-\tfrac12 + C\,e^{2x}.
Impondo y(0)=1 1=-\tfrac12 + C, logo C=\tfrac32. Portanto
y(x)= -\tfrac12 + \tfrac32\,e^{2x}.

Passo 3

Defina a diferença
u(x)=\varphi(x)-y(x).
Então
u'(x)-2\,u(x) =\bigl(\varphi'(x)-2\varphi(x)\bigr)-\bigl(y'(x)-2y(x)\bigr) \le1-1=0.
Multiplicando por e^{-2x} como antes,
\frac{d}{dx}\bigl(u\,e^{-2x}\bigr)\le0,
o que implica que u(x)e^{-2x} é decrescente. Como u(0)=\varphi(0)-y(0)=1-1=0, segue
u(x)\,e^{-2x}\le0 \quad\Longrightarrow\quad u(x)\le0.

Passo 4

Da desigualdade u(x)\le0 tiramos
\varphi(x)\le y(x) = -\tfrac12 + \tfrac32\,e^{2x}.
Isso vale para todo x\in[0,1]. Em particular, em x=1,
\varphi(1)\le -\tfrac12 + \tfrac32\,e^2.

Resposta

Para todo x\in[0,1] vale
\varphi(x)\le -\tfrac12 + \tfrac32\,e^{2x},
e, em especial,
\varphi(1)\le -\tfrac12 + \tfrac32\,e^2.

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