Questão 52. Seja
função diferenciável com derivada
contínua no intervalo
satisfazendo
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função diferenciável
em
com derivada contínua, satisfazendo
e a condição inicial
.
O conteúdo principal é comparar com a solução da equação linear
O conteúdo principal é comparar
usando fator integrante e um argumento de desigualdade para equações lineares.
Passo 2
Vamos primeiro resolver a equação associada
por fator integrante. O fator integrante é
, pois
Integrando, obtemos
então
Impondo
dá
, logo
. Portanto
Passo 3
Defina a diferença
Então
Multiplicando por
como antes,
o que implica que
é decrescente. Como
, segue
Passo 4
Da desigualdade
tiramos
Isso vale para todo
. Em particular, em
,
Resposta
Para todo
vale
e, em especial,