Questão 53. Sejam A um domínio de ideais principais e
\left(a_{1}\right) \subseteq\left(a_{2}\right) \subseteq \cdots \subseteq A
uma cadeia crescente de ideais em A. Mostre que existe n inteiro positivo tal que
\left(a_{n}\right)=\left(a_{n+1}\right)=\left(a_{n+2}\right)=\cdots .

Passo 1

O enunciado dá um domínio de ideais principais A e uma cadeia crescente de ideais principais
(a_{1}) \subseteq (a_{2}) \subseteq \cdots \subseteq A
e pede para mostrar que essa cadeia estabiliza, ou seja, existe n tal que
(a_{n}) = (a_{n+1}) = (a_{n+2}) = \cdots.
O conteúdo aqui é que em um PID toda cadeia ascendente de ideais é estacionária (teorema de que PIDs são noetherianos).

Passo 2

Definimos o conjunto
I \;=\; \bigcup_{i=1}^{\infty}(a_{i}).
Como cada (a_{i}) é ideal e a cadeia é crescente, I é fechado sob soma e multiplicação por elementos de A, logo I é um ideal de A. Mas A é PID, portanto existe b\in A tal que
I = (b).

Passo 3

Pelo fato de b\in I=\bigcup_{i}(a_{i}), existe algum índice n tal que b\in(a_{n}). Daí
(b)\;\subseteq\;(a_{n}).
Por outro lado, cada (a_{i}) está contido em I=(b), em particular
(a_{n})\;\subseteq\;(b).
Assim obtemos
(a_{n}) = (b).

Passo 4

Para todo i\ge n temos
(a_{i}) \;\subseteq\; I=(b) = (a_{n}) \quad\text{e}\quad (a_{n})=(b)\subseteq(a_{i}),
Logo
(a_{i}) = (a_{n}),
ou seja, a partir de n a cadeia é constante.

Resposta

Concluímos que existe n tal que
(a_{n}) = (a_{n+1}) = (a_{n+2}) = \cdots.

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