Questão 53. Sejam
um domínio de ideais principais e
uma cadeia crescente de ideais em
. Mostre que existe
inteiro positivo tal que
Passo 1
O enunciado dá um domínio de ideais principais
e uma cadeia crescente de ideais principais
e pede para mostrar que essa cadeia estabiliza, ou seja, existe
tal que
O conteúdo aqui é que em um PID toda cadeia ascendente de ideais é estacionária (teorema de que PIDs são noetherianos).
Passo 2
Definimos o conjunto
Como cada
é ideal e a cadeia é crescente,
é fechado sob soma e multiplicação por elementos de
, logo
é um ideal de
. Mas
é PID, portanto existe
tal que
Passo 3
Pelo fato de
, existe algum índice
tal que
. Daí
Por outro lado, cada
está contido em
, em particular
Assim obtemos
Passo 4
Para todo
temos
Logo
ou seja, a partir de
a cadeia é constante.
Resposta
Concluímos que existe
tal que