Questão 54. Achar a equação diferencial da família de círculos de raios r, com centros no eixo-x. ( Resp. y^{2}\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}+y^{2}=r^{2} )

Passo 1

Estamos lidando com a família de círculos de raio r e centros no eixo- x. O enunciado pede a equação diferencial que descreve essa família, ou seja, eliminar a constante que caracteriza a posição do centro.

Passo 2

A equação geral de um círculo de raio r e centro (a,0) é
(x - a)^{2} + y^{2} = r^{2},
onde a é a constante que vamos eliminar.

Passo 3

Derivando em relação a x, obtemos
2(x - a)\,\bigl(1\bigr) + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x - a + y\,y' = 0
onde escrevemos y' = \tfrac{dy}{dx}. Desse resultado isolamos a:
a = x + y\,y'.

Passo 4

Substituímos a na equação original:
\bigl(x - (x + y\,y')\bigr)^{2} + y^{2} = r^{2} \quad\Longrightarrow\quad (-y\,y')^{2} + y^{2} = r^{2} \quad\Longrightarrow\quad y^{2}\,(y')^{2} + y^{2} = r^{2}.

Resposta

y^{2}\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^{2} + y^{2} = r^{2}.

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