QUESTÃO 54 - Qual é o valor de \lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt{x+1}-3}{\sqrt[3]{x}-2} ?
A) -2 .
B) -1 .
C) 0 .
D) 1 .
E) 2 .

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to8}\frac{\sqrt{x+1}-3}{\sqrt[3]{x}-2}
Isso é um caso de forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar a regra de L’Hôpital, que diz que, se \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0 e \displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0 e f,g são diferenciáveis perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
quando esse novo limite existir.

Passo 2

Vamos confirmar a forma indeterminada fazendo a substituição direta x=8:
\sqrt{8+1}-3=\sqrt{9}-3=3-3=0, \qquad \sqrt[3]{8}-2=2-2=0.
De fato é 0/0, então podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital, trocamos o limite pela razão das derivadas do numerador e do denominador:
\lim_{x\to8}\frac{\sqrt{x+1}-3}{\sqrt[3]{x}-2} =\lim_{x\to8}\frac{\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)}{\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)}.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
A derivada de \sqrt{x+1} é
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x+1}\bigr) =\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.
A derivada de \sqrt[3]{x}=x^{1/3} é
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/3}\bigr) =\frac{1}{3}x^{-2/3} =\frac{1}{3\,x^{2/3}}.

Passo 5

Substituindo x=8 na razão das derivadas:
\lim_{x\to8}\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{\frac{1}{3\,x^{2/3}}} =\frac{\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{9}}}{\displaystyle\frac{1}{3\cdot 8^{2/3}}} =\frac{\frac{1}{2\cdot3}}{\frac{1}{3\cdot4}} =\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{12}} =\frac{1}{6}\cdot\frac{12}{1} =2.

Resposta

E) 2

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