QUESTÃO 53 - A alternativa que apresenta corretamente a derivada da função f(x)=\frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{x^{3}} é:
A) f^{\prime}(x)=\frac{2 x \cos \left(x^{2}\right)-3 \operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{x^{3}}
B) f^{\prime}(x)=\frac{2 x \cos \left(x^{2}\right)-3 \operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{x^{6}}
C) f^{\prime}(x)=\frac{3 x^{2} \operatorname{sen}\left(x^{2}\right)-2 x^{4} \cos \left(x^{2}\right)}{x^{6}}
D) f^{\prime}(x)=\frac{3 x^{2} \operatorname{sen}\left(x^{2}\right)-2 x^{4} \cos \left(x^{2}\right)}{x^{4}}
E) f^{\prime}(x)=\frac{2 x^{2} \cos \left(x^{2}\right)-3 \operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{x^{4}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)}{x^{3}}
e apresenta cinco alternativas. O conteúdo aqui é a regra do quociente junto com a regra da cadeia para \operatorname{sen}(x^2).

Passo 2

Definimos
u(x)=\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr), \quad v(x)=x^{3}.
Então
u'(x)=\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x = 2x\cos\bigl(x^{2}\bigr),
v'(x)=3x^{2}.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{\bigl(2x\cos(x^{2})\bigr)\,x^{3}-\operatorname{sen}(x^{2})\,3x^{2}}{x^{6}} =\frac{2x^{4}\cos(x^{2})-3x^{2}\operatorname{sen}(x^{2})}{x^{6}}.

Passo 4

Para simplificar, dividimos numerador e denominador por x^{2}, obtendo
f'(x) =\frac{2x^{2}\cos(x^{2})-3\operatorname{sen}(x^{2})}{x^{4}}.

Passo 5

Comparando com as alternativas, a que coincide com
\frac{2x^{2}\cos(x^{2})-3\operatorname{sen}(x^{2})}{x^{4}}
é a letra E.

Resposta

E

Exercícios relacionados