Questão 55. (Identidade de Bezout) Sejam A um domínio e a_{1}, \ldots, a_{n} \in A \backslash\{0\}. Dizemos que a_{1}, \ldots, a_{n} são relativamente primos ou primos entre si se
Mostre que se A é um domínio de ideais principais e a_{1}, \ldots, a_{n} \in A \backslash\{0\}. Então, a_{1}, \ldots, a_{n} são relativamente primos se, e somente se, existem x_{1}, \ldots, x_{n} \in A tais que
a_{1} x_{1}+\cdots+a_{n} x_{n}=1 .
Passo 1
O enunciado pergunta para provar que, em um domínio de ideais principais A, dado a_{1},\dots,a_{n}\in A\setminus\{0\}, temos
\operatorname{mdc}(a_{1},\dots,a_{n})=1
se, e somente se, existem x_{1},\dots,x_{n}\in A tais que
a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n}=1.
O conteúdo aqui é usar a caracterização de máximo divisor comum via o ideal gerado pelos elementos num PID e a definição de ideal principal.
Passo 2
Defina o ideal
I = (a_{1},\dots,a_{n}) \;=\;\Bigl\{\sum_{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\;\Bigm|\;x_{i}\in A\Bigr\}.
Como A é um domínio de ideais principais, existe d\in A tal que
I = (d).
Por construção, d divide cada a_{i} (pois a_{i}\in I=(d)) e, se b é um divisor comum de todos os a_{i}, então b divide todo elemento de I, em particular d. Logo, d é precisamente \operatorname{mdc}(a_{1},\dots,a_{n}).
Passo 3
Suponha \operatorname{mdc}(a_{1},\dots,a_{n})=1. Então d=1 e
I=(d)=(1)=A.
Isto significa 1\in I, ou seja, existem x_{1},\dots,x_{n}\in A tais que
a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n}=1.
Passo 4
Reciprocamente, suponha que existam x_{1},\dots,x_{n}\in A com
a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n}=1.
Se b for qualquer divisor comum de a_{1},\dots,a_{n}, então b divide o lado esquerdo acima e, portanto, b divide 1. Assim b é unidade, o que implica \operatorname{mdc}(a_{1},\dots,a_{n})=1.
Resposta
Ficou demonstrado que em um domínio de ideais principais A temos