Questão 54. Seja A um domínio. Mostre que são equivalentes:
(a) A é um domínio de fatoração;
(b) Se
\left(a_{1}\right) \subseteq\left(a_{2}\right) \subseteq \cdots \subseteq A
é uma cadeia crescente de ideais em A, então existe n inteiro positivo tal que
\left(a_{n}\right)=\left(a_{n+1}\right)=\left(a_{n+2}\right)=\cdots

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num domínio integral A, as duas condições a seguir são equivalentes:
(a) Todo elemento não nulo e não unidade de A pode ser escrito como produto de irreducíveis (ou seja, A é um domínio de fatoração).
(b) Toda cadeia crescente de ideais principais
\bigl(a_{1}\bigr)\subseteq\bigl(a_{2}\bigr)\subseteq\cdots
estabiliza, isto é, existe n tal que
\bigl(a_{n}\bigr)=\bigl(a_{n+1}\bigr)=\bigl(a_{n+2}\bigr)=\cdots.
Para isso vamos provar (a) \implies(b) e depois (b) \implies(a).

Passo 2

Prova de (a) \implies(b). Suponha que A seja domínio de fatoração e, por absurdo, que exista cadeia estritamente crescente de ideais principais
\bigl(a_{1}\bigr)\subsetneq\bigl(a_{2}\bigr)\subsetneq\bigl(a_{3}\bigr)\subsetneq\cdots.
Como \bigl(a_{i+1}\bigr)\subsetneq\bigl(a_{i}\bigr), a_{i+1} divide a_{i} mas não é associado a ele. Logo existem b_{i}\in A não unidade tais que
a_{i} = a_{i+1}\,b_{i},\qquad b_{i}\text{ não unidade.}ã
Iterando,
a_{1} = a_{2}b_{1} = a_{3}b_{2}b_{1} = \cdots = a_{n+1}(b_{n}\cdots b_{1})\quad\forall n.
Isto produz uma fatoração de a_{1} em arbitrariamente muitos fatores não unidades, o que contradiz o fato de A ser domínio de fatoração (todo elemento só admite fatoração em número finito de irreducíveis). Portanto a cadeia não pode ser estrita para sempre, ou seja, estabiliza.

Passo 3

Prova de (b) \implies(a). Suponha que toda cadeia de ideais principais estabilize. Seja x\in A não nulo e não unidade. Se x for irreduzível, já está fatorado. Caso contrário, escreva
x = a_{1}c_{1},
com a_{1},c_{1} não unidades. Se c_{1} for irreduzível, então x=a_{1}c_{1} é fatoração em irreduzíveis parciais. Se ainda não, fatoramos
c_{1} = a_{2}c_{2},\quad a_{2},c_{2}\text{ não unidades},ã
e assim por diante. Se esse processo não terminasse, teríamos uma cadeia estrita
(x)\subsetneq(c_{1})\subsetneq(c_{2})\subsetneq\cdots
de ideais principais, o que viola a hipótese. Logo em número finito de etapas chega-se a um fator irreduzível, dando uma fatoração completa de x.

Resposta

Mostramos que (a) \implies(b) e (b) \implies(a), logo as duas condições são equivalentes.

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