Questão 55 (S.E.M-IFPB-2017). Antes de resolver uma prova com 10 questões com 5 alternativas cada, Joãozinho teve umas dicas que diziam o seguinte: “a resposta de nenhuma questão é a letra B, exceto possivelmente a primeira questão e duas questões seguidas não tem a mesma resposta”. Qual o maior número de respostas diferentes joãozinho pode ter dado respeitando as dicas ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • \,10 questões na prova, cada uma com \,5 alternativas por questão (vamos chamar as alternativas de \{A,B,C,D,E\}).
  • Dica 1: “a resposta de nenhuma questão é a letra \,B, exceto possivelmente a primeira questão” — isto significa que a letra \,B só pode aparecer, no máximo, na questão 1. Em outras palavras, se houver alguma \,B, ela só pode estar na posição 1; as questões 2 a 10 não podem ser \,B.
  • Dica 2: “duas questões seguidas não têm a mesma resposta” — isto significa que respostas consecutivas devem ser diferentes (nenhuma repetição imediata).
  • O que o enunciado pede: determinar o maior número possível de respostas diferentes que Joãozinho pode ter dado, respeitando as duas dicas.

Passo 2

Limite óbvio por número de alternativas.
  • Como existem apenas \,5 alternativas diferentes no total ( \{A,B,C,D,E\}), o número máximo de respostas distintas que Joãozinho pode ter é no máximo \,5. Não dá para ter mais de \,5 respostas diferentes porque simplesmente não há mais alternativas disponíveis.
Portanto já temos um limite superior: o máximo possível é \le 5. Agora preciso verificar se é possível atingir exatamente \,5 dadas as restrições extras (B só em 1 e sem repetições consecutivas).

Passo 3

Observação sobre onde cada letra pode aparecer.
  • A letra \,B só pode aparecer na posição 1. Se quisermos usar \,B para aumentar o número de letras distintas, então necessariamente teremos \,B em Q_1 (questão 1).
  • As posições 2 a 10 (ou seja, 9 posições) não podem ser \,B; nelas só podemos usar as demais \,4 letras \{A,C,D,E\}.
  • Não existe nenhuma regra que impeça reutilizar letras não consecutivamente, logo podemos repetir letras desde que não sejam adjacentes.

Passo 4

Construção explícita que usa todas as \,5 alternativas sem violar as regras.
Vou dar um exemplo concreto de lista de respostas com \,10 entradas onde aparecem todas as 5 letras e não há letras iguais em posições consecutivas. Uma sequência que funciona é:
B,\\ A,\\ C,\\ A,\\ D,\\ A,\\ E,\\ A,\\ C,\\ A
Verificação:
  • \,B aparece apenas na primeira posição (ok com a primeira dica).
  • Nas posições 2 a 10 só aparecem letras de \{A,C,D,E\} (nenhuma \,B fora da primeira).
  • Nenhuma par de posições consecutivas tem a mesma letra (cada par adjacente é diferente).
  • As cinco letras \{A,B,C,D,E\} aparecem na sequência (logo há \,5 respostas diferentes).
Assim, a construção mostra que o limite superior \,5 é atingível.

Passo 5

Conclusão lógica final.
  • Não se pode ter mais do que \,5 respostas diferentes porque existem somente \,5 alternativas.
  • A sequência construída mostra que é possível alcançar exatamente \,5 respostas diferentes respeitando ambas as dicas.

Resposta

\,5

Exercícios relacionados