Questão 55 (S.E.M-IFPB-2017). Antes de resolver uma prova com 10 questões com 5 alternativas cada, Joãozinho teve umas dicas que diziam o seguinte: “a resposta de nenhuma questão é a letra B, exceto possivelmente a primeira questão e duas questões seguidas não tem a mesma resposta”. Qual o maior número de respostas diferentes joãozinho pode ter dado respeitando as dicas ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Há
questões na prova, cada uma com alternativas por questão (vamos chamar as alternativas de ). - Dica 1: “a resposta de nenhuma questão é a letra
, exceto possivelmente a primeira questão” — isto significa que a letra só pode aparecer, no máximo, na questão . Em outras palavras, se houver alguma , ela só pode estar na posição ; as questões a não podem ser . - Dica 2: “duas questões seguidas não têm a mesma resposta” — isto significa que respostas consecutivas devem ser diferentes (nenhuma repetição imediata).
- O que o enunciado pede: determinar o maior número possível de respostas diferentes que Joãozinho pode ter dado, respeitando as duas dicas.
Passo 2
Limite óbvio por número de alternativas.
- Como existem apenas
alternativas diferentes no total ( ), o número máximo de respostas distintas que Joãozinho pode ter é no máximo . Não dá para ter mais de respostas diferentes porque simplesmente não há mais alternativas disponíveis.
Portanto já temos um limite superior: o máximo possível é
. Agora preciso verificar se é possível atingir exatamente
dadas as restrições extras (B só em
e sem repetições consecutivas).
Passo 3
Observação sobre onde cada letra pode aparecer.
- A letra
só pode aparecer na posição . Se quisermos usar para aumentar o número de letras distintas, então necessariamente teremos em (questão 1). - As posições
a (ou seja, posições) não podem ser ; nelas só podemos usar as demais letras . - Não existe nenhuma regra que impeça reutilizar letras não consecutivamente, logo podemos repetir letras desde que não sejam adjacentes.
Passo 4
Construção explícita que usa todas as
alternativas sem violar as regras.
Vou dar um exemplo concreto de lista de respostas com
entradas onde aparecem todas as 5 letras e não há letras iguais em posições consecutivas. Uma sequência que funciona é:
Verificação:
-
aparece apenas na primeira posição (ok com a primeira dica). - Nas posições
a só aparecem letras de (nenhuma fora da primeira). - Nenhuma par de posições consecutivas tem a mesma letra (cada par adjacente é diferente).
- As cinco letras
aparecem na sequência (logo há respostas diferentes).
Assim, a construção mostra que o limite superior
é atingível.
Passo 5
Conclusão lógica final.
- Não se pode ter mais do que
respostas diferentes porque existem somente alternativas. - A sequência construída mostra que é possível alcançar exatamente
respostas diferentes respeitando ambas as dicas.