Questão 52. Quantos são os anagramas da palavra LAPLACE que começam por vogal?

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos. A palavra é LAPLACE. O enunciado pergunta: quantos anagramas (ou seja, permutações das letras) da palavra começam por vogal?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A palavra tem as letras: L, A, P, L, A, C, E.
  • O total de letras é 7.
  • As letras repetidas são: L aparece 2 vezes e A aparece 2 vezes. As letras P, C, E aparecem 1 vez cada.
  • As vogais presentes são A (que aparece 2 vezes) e E (que aparece 1 vez).
    O objetivo final é contar todas as palavras distintas formadas com essas letras que têm como primeira letra uma vogal (ou seja, começam por A ou começam por E).

Passo 2

Método geral que vamos usar (conteúdo didático): permutações com elementos repetidos.
Quando se tem n objetos no total e há grupos de objetos idênticos com tamanhos n_1,n_2,\dots,n_k (onde n_1+n_2+\cdots+n_k=n), o número de permutações distintas é dado por
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_k!}.
Explicando cada símbolo:
  • n! (lê-se " n fatorial") é o produto n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1. Representa todas as permutações ordenadas se todas as letras fossem distintas.
  • Cada n_i! no denominador corrige a multiplicidade de objetos idênticos (porque trocar entre si elementos idênticos não gera uma nova permutação distinta).
    Exemplo simples para fixar: para as letras \text{AAB} temos n=3 com n_1=2 para o A e n_2=1 para o B. O número de permutações distintas é
\frac{3!}{2!1!}=\frac{6}{2}=3,
que são \(\text{AAB},\ \text{ABA},\ \text{BAA}) (listadas como exemplo).

Passo 3

Aplicando a ideia ao problema: vamos separar por casos, dependendo da vogal que ocupa a primeira posição. Os casos são: (i) primeira letra A; (ii) primeira letra E. Contaremos, em cada caso, as permutações distintas das demais 6 letras (restantes) respeitando repetições.

Passo 4

Caso 1: primeira letra é A.
Ao fixar a primeira letra como A, usamos uma das duas letras A. As letras remanescentes para permutar são:
  • A: resta 1 (porque havia 2 e usamos uma),
  • L: 2,
  • P: 1,
  • C: 1,
  • E: 1.
    No total há 6 letras a permutar, com apenas L repetida duas vezes. Pelo fórmula das permutações com repetição:
\text{número de anagramas começando por }A = \frac{6!}{2!}.úç
Calculemos:
6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 720, \qquad 2! = 2,
logo
\frac{6!}{2!}=\frac{720}{2}=360.
Portanto há 360 anagramas que começam por A.

Passo 5

Caso 2: primeira letra é E.
Ao fixar a primeira letra como E, as letras remanescentes são:
  • A: 2,
  • L: 2,
  • P: 1,
  • C: 1.
    Novamente temos 6 letras a permutar, mas agora há duas letras com repetição: A aparece 2 vezes e L aparece 2 vezes. Pela fórmula:
\text{número de anagramas começando por }E = \frac{6!}{2!\,2!}.úç
Calculemos:
6! = 720,\qquad 2!\,2! = 2\cdot 2 = 4,
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\frac{6!}{2!\,2!}=\frac{720}{4}=180.
Portanto há 180 anagramas que começam por E.

Passo 6

Agora combinamos os dois casos (começando por A ou por E). O conjunto de anagramas que começam por vogal é a união disjunta desses dois conjuntos, então somamos as quantidades:
360+180=540.
Isso nos dá o total de anagramas distintos da palavra LAPLACE que começam por vogal.

Resposta

540

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