Questão 52. Quantos são os anagramas da palavra LAPLACE que começam por vogal?
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais informações temos. A palavra é LAPLACE. O enunciado pergunta: quantos anagramas (ou seja, permutações das letras) da palavra começam por vogal?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A palavra tem as letras:
. - O total de letras é
. - As letras repetidas são:
aparece vezes e aparece vezes. As letras aparecem vez cada. - As vogais presentes são
(que aparece vezes) e (que aparece vez).
O objetivo final é contar todas as palavras distintas formadas com essas letras que têm como primeira letra uma vogal (ou seja, começam porou começam por ).
Passo 2
Método geral que vamos usar (conteúdo didático): permutações com elementos repetidos.
Quando se tem objetos no total e há grupos de objetos idênticos com tamanhos
(onde
), o número de permutações distintas é dado por
Quando se tem
Explicando cada símbolo:
-
(lê-se " fatorial") é o produto . Representa todas as permutações ordenadas se todas as letras fossem distintas. - Cada
no denominador corrige a multiplicidade de objetos idênticos (porque trocar entre si elementos idênticos não gera uma nova permutação distinta).
Exemplo simples para fixar: para as letrastemos com para o e para o . O número de permutações distintas é
que são
,\
,\
) (listadas como exemplo).
Passo 3
Aplicando a ideia ao problema: vamos separar por casos, dependendo da vogal que ocupa a primeira posição. Os casos são: (i) primeira letra
; (ii) primeira letra
. Contaremos, em cada caso, as permutações distintas das demais
letras (restantes) respeitando repetições.
Passo 4
Caso 1: primeira letra é
.
Ao fixar a primeira letra como , usamos uma das duas letras
. As letras remanescentes para permutar são:
Ao fixar a primeira letra como
-
: resta (porque havia e usamos uma), -
: , -
: , -
: , -
: .
No total háletras a permutar, com apenas repetida duas vezes. Pelo fórmula das permutações com repetição:
Calculemos:
logo
Portanto há
anagramas que começam por
.
Passo 5
Caso 2: primeira letra é
.
Ao fixar a primeira letra como , as letras remanescentes são:
Ao fixar a primeira letra como
-
: , -
: , -
: , -
: .
Novamente temosletras a permutar, mas agora há duas letras com repetição: aparece vezes e aparece vezes. Pela fórmula:
Calculemos:
logo
Portanto há
anagramas que começam por
.
Passo 6
Agora combinamos os dois casos (começando por
ou por
). O conjunto de anagramas que começam por vogal é a união disjunta desses dois conjuntos, então somamos as quantidades:
Isso nos dá o total de anagramas distintos da palavra LAPLACE que começam por vogal.