Questão 56. (Menor múltiplo comum - mmc) Sejam A um domínio e a_{1}, \ldots, a_{n} \in A. Um elemento m \in A é um menor múltiplo comum de a_{1}, \ldots, a_{n}, notação: \operatorname{mmc}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right), se são satisfeitas:
i. a_{i} \mid m, \forall i=1, \ldots, n.
ii. Se a_{i} \mid c, \forall i=1, \ldots, n, então m \mid c.
Mostre que se A é um domínio e a_{1}, \ldots, a_{n} \in A, então:
(I) m=\operatorname{mmc}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \Leftrightarrow(m)=\left(a_{1}\right) \cap \cdots \cap\left(a_{n}\right).

Passo 1

O enunciado está em um domínio de integridade A. Dados a_{1},\dots,a_{n}\in A, definimos o menor múltiplo comum m=\operatorname{mmc}(a_{1},\dots,a_{n}) pelas condições:
  1. a_i\mid m para todo i.
  2. Se a_i\mid c para todo i, então m\mid c.
    Queremos provar a equivalência
m=\operatorname{mmc}(a_{1},\dots,a_{n})\;\Longleftrightarrow\;(m)\;=\;(a_{1})\,\cap\cdots\cap\,(a_{n}).
Aqui usamos a correspondência entre divisibilidade e inclusão de ideais principais: em domínio de integridade,
x\mid y\quad\Longleftrightarrow\quad(y)\subseteq(x).

Passo 2

Suponha primeiro que m=\operatorname{mmc}(a_{1},\dots,a_{n}). Vamos mostrar (m)=(a_{1})\cap\cdots\cap(a_{n}).
a) Se z\in(m), então existe r tal que z=m\,r. Como a_i\mid m para todo i, escrevemos m=a_i\,s_i e daí
z = m\,r = a_i\,(s_i\,r),
logo z\in(a_i). Como vale para todo i, z\in(a_{1})\cap\cdots\cap(a_{n}). Assim
(m)\subseteq(a_{1})\cap\cdots\cap(a_{n}).
b) Agora seja z\in(a_{1})\cap\cdots\cap(a_{n}). Então a_i\mid z para todo i. Pela propriedade minimalidade de m, vem m\mid z. Assim existe t com z=m\,t, o que significa z\in(m). Portanto
(a_{1})\cap\cdots\cap(a_{n})\subseteq(m).
Com as duas inclusões, concluímos
(m) \;=\;(a_{1})\cap\cdots\cap(a_{n}).

Passo 3

Reciprocamente, suponha (m)=(a_{1})\cap\cdots\cap(a_{n}). Precisamos checar as duas condições de m ser \operatorname{mmc}.
  1. Como m\in(m) e (m)=(a_{1})\cap\cdots\cap(a_{n}), segue m\in(a_i) para todo i. Logo a_i\mid m.
  2. Se um elemento c satisfaz a_i\mid c para todo i, então c\in(a_i) para cada i, isto é, c\in(a_{1})\cap\cdots\cap(a_{n})=(m). Portanto m\mid c.
    Assim m satisfaz exatamente as condições de ser \operatorname{mmc}(a_{1},\dots,a_{n}).

Resposta

Ficou demonstrado que
m=\operatorname{mmc}(a_{1},\dots,a_{n}) \quad\Longleftrightarrow\quad (m) \;=\;(a_{1})\cap\cdots\cap(a_{n}).

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