Questão 54. Seja
um domínio. Mostre que são equivalentes:
(a) A é um domínio de fatoração;
(b) Se
é uma cadeia crescente de ideais em
, então existe
inteiro positivo tal que
(a) A é um domínio de fatoração;
(b) Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num domínio integral
, as duas condições a seguir são equivalentes:
(a) Todo elemento não nulo e não unidade de pode ser escrito como produto de irreducíveis (ou seja,
é um domínio de fatoração).
(b) Toda cadeia crescente de ideais principais
(a) Todo elemento não nulo e não unidade de
(b) Toda cadeia crescente de ideais principais
estabiliza, isto é, existe
tal que
Para isso vamos provar (a)
(b) e depois (b)
(a).
Passo 2
Prova de (a)
(b). Suponha que
seja domínio de fatoração e, por absurdo, que exista cadeia estritamente crescente de ideais principais
Como
,
divide
mas não é associado a ele. Logo existem
não unidade tais que
Iterando,
Isto produz uma fatoração de
em arbitrariamente muitos fatores não unidades, o que contradiz o fato de
ser domínio de fatoração (todo elemento só admite fatoração em número finito de irreducíveis). Portanto a cadeia não pode ser estrita para sempre, ou seja, estabiliza.
Passo 3
Prova de (b)
(a). Suponha que toda cadeia de ideais principais estabilize. Seja
não nulo e não unidade. Se
for irreduzível, já está fatorado. Caso contrário, escreva
com
não unidades. Se
for irreduzível, então
é fatoração em irreduzíveis parciais. Se ainda não, fatoramos
e assim por diante. Se esse processo não terminasse, teríamos uma cadeia estrita
de ideais principais, o que viola a hipótese. Logo em número finito de etapas chega-se a um fator irreduzível, dando uma fatoração completa de
.
Resposta
Mostramos que (a)
(b) e (b)
(a), logo as duas condições são equivalentes.