Questão 58 Sejam \alpha e \beta são bases de P_{2}(\mathbb{R}). Se \beta=\left\{t, 1+t, 1-t-t^{2}\right\} e a matriz [I]_{\beta}^{\alpha}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ -1 & 1 & 1\end{array}\right), encontre a base \alpha.

Passo 1

O enunciado diz que \alpha e \beta são duas bases de P_{2}(\mathbb{R}), sendo
\beta = \{\,b_{1}=t,\;b_{2}=1+t,\;b_{3}=1 - t - t^{2}\}
e que a matriz de mudança de base do espaço com base em \beta para base em \alpha é
[I]_{\beta}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 1\\\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Para encontrar \alpha, vamos usar a interpretação de que cada coluna dessa matriz são as coordenadas, em \alpha, de cada vetor de \beta.

Passo 2

Sejam \alpha = \{p_{1},p_{2},p_{3}\}. Pela definição de [I]_{\beta}^{\alpha}, temos
[b_{1}]_{\alpha} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix},\quad [b_{2}]_{\alpha} = \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},\quad [b_{3}]_{\alpha} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Isto equivale a dizer que
b_{1} = 1\cdot p_{1} + 0\cdot p_{2} -1\cdot p_{3},\quad b_{2} = 0\cdot p_{1} +2\cdot p_{2} +1\cdot p_{3},\quad b_{3} = 0\cdot p_{1} +1\cdot p_{2} +1\cdot p_{3}.

Passo 3

Substituindo b_{1}=t, b_{2}=1+t e b_{3}=1 - t - t^{2}, obtemos o sistema de identidades de polinômios:
\begin{cases} t = p_{1} - p_{3},\\\\ 1+t = 2\,p_{2} + p_{3},\\\\ 1 - t - t^{2} = p_{2} + p_{3}. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação isolamos p_{2}:
2\,p_{2} = 1 + t - p_{3} \quad\Longrightarrow\quad p_{2} = \frac{1 + t - p_{3}}{2}.
Substituímos esse p_{2} na terceira equação:
\frac{1 + t - p_{3}}{2} + p_{3} = 1 - t - t^{2} \quad\Longrightarrow\quad 1 + t - p_{3} + 2\,p_{3} = 2 - 2t - 2t^{2}
\Longrightarrow\quad 1 + t + p_{3} = 2 - 2t - 2t^{2} \quad\Longrightarrow\quad p_{3} = 1 - 3t - 2t^{2}.

Passo 5

Com p_{3} em mãos, voltamos à fórmula de p_{2}:
p_{2} = \frac{1 + t - (1 - 3t - 2t^{2})}{2} = \frac{4t + 2t^{2}}{2} = 2t + t^{2}.
E finalmente da primeira equação obtemos
p_{1} = t + p_{3} = t + (1 - 3t - 2t^{2}) = 1 - 2t - 2t^{2}.

Passo 6

Portanto a base \alpha é
\alpha = \{\,p_{1},\,p_{2},\,p_{3}\} = \bigl\{\,1 - 2t - 2t^{2},\;2t + t^{2},\;1 - 3t - 2t^{2}\bigr\}.

Resposta

\alpha = \bigl\{\,1 - 2t - 2t^{2},\;2t + t^{2},\;1 - 3t - 2t^{2}\bigr\}.

Exercícios relacionados