Questão 55 Encontre [p(t)]_{\beta}, onde p(t)=2-t+3 t^{2} e \beta=\left\{1+t, 1-t, t^{2}\right\} é uma base de P_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para achar as coordenadas do polinômio p(t)=2 - t + 3t^2 em relação à base \beta=\{\,1+t,\;1-t,\;t^2\} de P_2(\mathbb{R}). Ou seja, queremos encontrar escalares a,b,c tais que
p(t) \;=\; a\,(1+t)\;+\;b\,(1-t)\;+\;c\,t^2.

Passo 2

Vamos expandir o lado direito:
a(1+t)+b(1-t)+c\,t^2 =\;(a+b)\;+\;(a-b)\,t\;+\;c\,t^2.
Então devemos ter
(a+b)\;=\;2,\quad (a-b)\;=\;-1,\quad c\;=\;3.

Passo 3

Resolvendo o sistema
\begin{cases} a+b=2,\\\ a-b=-1,\\\ c=3, \end{cases}
somando as duas primeiras equações dá 2a=1, logo a=\tfrac12. Daí b=2-a=2-\tfrac12=\tfrac32 e já temos c=3.

Resposta

\displaystyle [p(t)]_{\beta} = \bigl(\tfrac12,\;\tfrac32,\;3\bigr).

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