Questão 58. Sejam A um domínio de fatoração única e a, b, c \in A \backslash\{0\}.
I) Mostre que se c \mid a b \operatorname{e} \operatorname{mdc}(a, b)=1, então c \mid b.
II) Mostre que se \operatorname{mdc}(a, b)=1, a \mid c e b \mid c, então a b \mid c. Além disso, se a x=b y, então a \mid y e b \mid x.
Passo 1
O enunciado trabalha em um domínio de fatoração única A e valores a,b,c\in A\setminus\{0\}. Precisamos usar a fatoração única em irreducíveis e a definição de \gcd para provar:
I) Se c\mid a b e \gcd(c,a)=1, então c\mid b.
II) Se \gcd(a,b)=1, a\mid c e b\mid c, então ab\mid c.
Além disso, mostrar que de a x = b y segue a\mid y e b\mid x.
Passo 2
Prova de I) (“Lema de Gauss” em UFD)
Fatoremos
c = u\,p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{n}^{e_{n}},
onde u é unidade e cada p_{i} é irreduzível. Como c\mid a b, cada p_{i} divide a b. Em UFD, se um irreduzível divide um produto, ele divide um dos fatores, logo para cada i vale
p_{i}\mid a\quad\text{ou}\quad p_{i}\mid b.
Mas \gcd(c,a)=1 significa que nenhum dos p_{i} pode dividir a. Logo cada p_{i} divide b. Como isso vale para todo i, o produto p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{n}^{e_{n}} divide b. Multiplicando pela unidade u, concluímos
c = u\,p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{n}^{e_{n}}\;\bigm|\; b.
Passo 3
Resposta de I) ficou provado que, se c\mid a b e \gcd(c,a)=1, então c\mid b.
Passo 4
Prova de II, primeira parte
Agora suponha \gcd(a,b)=1, a\mid c e b\mid c. Em UFD, escrevemos as fatorações
a = u\,\prod p_{i}^{\alpha_{i}},\quad b = v\,\prod p_{i}^{\beta_{i}},\quad c = w\,\prod p_{i}^{\gamma_{i}},
com \alpha_{i},\beta_{i},\gamma_{i}\ge0. Da divisibilidade a\mid c vem \alpha_{i}\le\gamma_{i} para todo i, e de b\mid c vem \beta_{i}\le\gamma_{i}. Como \gcd(a,b)=1, em cada i pelo menos um entre \alpha_{i} ou \beta_{i} é zero, mas de qualquer forma
\alpha_{i} + \beta_{i} \;\le\;\gamma_{i}.
Logo na fatoração de ab o expoente de p_{i} é \alpha_{i}+\beta_{i}, e como \gamma_{i} é maior ou igual, segue que ab\mid c.
Passo 5
Prova de II, segunda parte
Suponha a x = b y. Então a\mid b\,y. Como \gcd(a,b)=1, podemos aplicar o resultado de I) (trocando c por a, a por b e b por y) para concluir a\mid y. De modo análogo, de b x = a y segue b\mid x.
Resposta
I) Se c\mid a b e \gcd(c,a)=1, então c\mid b.
II) Se \gcd(a,b)=1, a\mid c e b\mid c, então ab\mid c. Além disso, de a x = b y segue a\mid y e b\mid x.