Sejam A um domínio e a_{1}, \ldots, a_{n} \in A \backslash\{0\}.
(II) Se d=\operatorname{mdc}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) e c \in A \backslash\{0\}, então c d=\operatorname{mdc}\left(c a_{1}, \ldots, c a_{n}\right).

Passo 1

O enunciado diz que A é um domínio integral e que d=\operatorname{mdc}(a_{1},\dots,a_{n}). Queremos mostrar que, para qualquer c\in A\setminus\{0\},
\operatorname{mdc}(c\,a_{1},\dots,c\,a_{n}) \;=\; c\,d.
A ideia é usar a caracterização do m.d.c.\ como gerador do ideal principal que ele determina.

Passo 2

Pelo fato de d ser o \operatorname{mdc}(a_{1},\dots,a_{n}), o ideal gerado pelos a_{i} é
(a_{1},\dots,a_{n}) \;=\;(d).

Passo 3

Multiplicando este ideal por c obtemos
(c\,a_{1},\dots,c\,a_{n}) \;=\; c\,(a_{1},\dots,a_{n}) \;=\; c\,(d) \;=\; (c\,d).

Passo 4

Como o \operatorname{mdc}(c\,a_{1},\dots,c\,a_{n}) é justamente o gerador do ideal (c\,a_{1},\dots,c\,a_{n}), segue-se que
\operatorname{mdc}(c\,a_{1},\dots,c\,a_{n}) \;=\; c\,d.

Resposta

\operatorname{mdc}(c\,a_{1},\dots,c\,a_{n})=c\,d.)

Exercícios relacionados