Questão 59. De acordo com a lei de resfriamento de Newton, a taxa de resfriamento de uma substância numa corrente de ar é proporcional à diferença entre a temperatura da substância e a do ambiente, mais precisamente, se T=T(t) é a temperatura no instante de tempo t \geq 0, então
\frac{d T}{d t}=-\kappa \cdot\left(T-T_{0}\right),
em que \kappa \geq 0 é uma constante e T_{0} a temperatura ambiente. Sendo a temperatura ambiente 30^{\circ} e resfriando a substância de 100^{\circ} para 70^{\circ} em 15 minutos, achar o momento em que a temperatura será 40^{\circ}. (Resp. t=52 minutos.)

Passo 1

O enunciado dá a lei de resfriamento de Newton
\frac{dT}{dt}=-\kappa\,(T-T_{0}),
com T_{0}=30^\circ, e as condições T(0)=100^\circ e T(15)=70^\circ. Queremos o instante t em que T(t)=40^\circ. Para isso, vamos resolver a EDO por separação de variáveis.

Passo 2

Separamos as variáveis:
\frac{dT}{T-30}=-\kappa\,dt.
Integrando ambos os lados,
\ln\bigl|T-30\bigr|=-\kappa t+C,
de onde
T(t)-30 = A\,e^{-\kappa t},
com A=e^C.

Passo 3

Usamos T(0)=100 para achar A:
100-30 = A\quad\Longrightarrow\quad A=70.
Logo a solução particular é
T(t)-30 = 70\,e^{-\kappa t}.

Passo 4

Aplicamos T(15)=70:
70-30 = 40 = 70\,e^{-15\kappa} \quad\Longrightarrow\quad e^{-15\kappa}=\frac{4}{7} \quad\Longrightarrow\quad \kappa=\frac{1}{15}\ln\frac{7}{4}.

Passo 5

Para T(t)=40 temos
40-30=10=70\,e^{-\kappa t} \quad\Longrightarrow\quad e^{-\kappa t}=\frac{1}{7} \quad\Longrightarrow\quad -\kappa t=\ln\frac{1}{7} \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{1}{\kappa}\ln7 =\frac{15\ln7}{\ln(7/4)}\approx52.

Resposta

t\approx52 minutos.

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