Questão 53. Uma curva é definida pela condição de ter em todos os pontos ( x, y ), a inclinação \frac{d y}{d x} igual ao dobro da soma das coordenadas do ponto. Determine a condição por meio de uma equação diferencial. Determine a curva y=y(x). ( Resp. y(x)=-x-\frac{1}{2}+c e^{2 x} )

Passo 1

O enunciado define uma curva tal que, em cada ponto (x,y), a inclinação \frac{dy}{dx} é igual ao dobro da soma das coordenadas. O conteúdo envolve equações diferenciais ordinárias de primeira ordem do tipo linear, e vamos precisar usar fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Traduzindo a condição em equação diferencial, obtemos
\frac{dy}{dx} = 2\bigl(x + y\bigr).

Passo 3

Colocamos em forma padrão de ODE linear de 1ª ordem, isolando todos os termos em y:
\frac{dy}{dx} - 2y = 2x.

Passo 4

Calculamos o fator integrante \mu(x) como
\mu(x) = e^{\displaystyle\int -2\,dx} = e^{-2x}.
Multiplicando toda a equação diferencial por \mu(x), obtemos
e^{-2x}\frac{dy}{dx} - 2\,e^{-2x}y = 2x\,e^{-2x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-2x}\bigr) = 2x\,e^{-2x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int d\bigl(y\,e^{-2x}\bigr) = \int 2x\,e^{-2x}\,dx.
Para a integral do lado direito usamos integração por partes:
seja u=2x, dv=e^{-2x}dx, então du=2dx, v=-\tfrac12e^{-2x}.
Logo,
\int 2x\,e^{-2x}\,dx = u\,v - \int v\,du = 2x\Bigl(-\tfrac12e^{-2x}\Bigr) - \int \Bigl(-\tfrac12e^{-2x}\Bigr)\,2dx = -x\,e^{-2x} - \tfrac12e^{-2x} + C.

Passo 6

Temos então
y\,e^{-2x} = -x\,e^{-2x} - \tfrac12e^{-2x} + C.
Multiplicando por e^{2x}, resulta
y(x) = -x - \tfrac12 + C\,e^{2x},
onde C é a constante de integração.

Resposta

A equação diferencial é
\frac{dy}{dx} = 2\bigl(x + y\bigr),
e a solução geral da curva é
y(x) = -x - \tfrac12 + C\,e^{2x}.

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