Questão 53. Uma curva é definida pela condição de ter em todos os pontos (
), a inclinação
igual ao dobro da soma das coordenadas do ponto. Determine a condição por meio de uma equação diferencial. Determine a curva
. ( Resp.
)
Passo 1
O enunciado define uma curva tal que, em cada ponto
, a inclinação
é igual ao dobro da soma das coordenadas. O conteúdo envolve equações diferenciais ordinárias de primeira ordem do tipo linear, e vamos precisar usar fator integrante para resolvê-la.
Passo 2
Traduzindo a condição em equação diferencial, obtemos
Passo 3
Colocamos em forma padrão de ODE linear de 1ª ordem, isolando todos os termos em
:
Passo 4
Calculamos o fator integrante
como
Multiplicando toda a equação diferencial por
, obtemos
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Para a integral do lado direito usamos integração por partes:
seja ,
, então
,
.
Logo,
seja
Logo,
Passo 6
Temos então
Multiplicando por
, resulta
onde
é a constante de integração.
Resposta
A equação diferencial é
e a solução geral da curva é