Questão 64. Encontre o décimo quinto termo da sequência
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede.
- Sequência fornecida:
. - Pergunta: encontrar o décimo quinto termo da sequência, ou seja,
.
Informações relevantes extraídas diretamente do enunciado:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
. - Quarto termo:
.
Passo 2
Observar o padrão dos numeradores e descobrir uma fórmula para eles.
- Numeradores sucessivos:
. - Isso é uma progressão aritmética (PA): cada termo aumenta em
em relação ao anterior. - Fórmula geral de uma PA:
, onde: -
é o -ésimo termo da PA, -
é o primeiro termo, -
é a razão (diferença entre termos consecutivos), -
é o índice do termo.
-
- Aqui
e . Substituindo: - Teste rápido: para
dá ; para dá . Ótimo, bate com os dados.
Passo 3
Observar o padrão dos denominadores e descobrir uma fórmula para eles.
- Denominadores sucessivos:
. - Isso é uma sequência geométrica (potências de
): . - Fórmula geral de uma PG (sequência geométrica):
, onde: -
é o -ésimo termo, -
é o primeiro termo, -
é a razão multiplicativa, -
é o índice do termo.
-
- Aqui
e . Então - Verificação: para
dá ; para dá . Confere.
Passo 4
Formar a expressão geral do
-ésimo termo combinando numerador e denominador.
- Como cada termo da sequência é numerador sobre denominador,
- Explicação:
dá o padrão aritmético que vimos; dá a potência de que aparece no denominador. Essa expressão gera corretamente os termos conhecidos: -
, -
, etc.
-
Passo 5
Calcular o décimo quinto termo substituindo
em
.
- Primeiro, o numerador:
- Depois, o denominador:
(Explicação curta: é um valor padrão; multiplicando por obtém-se .) - Portanto:
- Como
é potência de e é ímpar, a fração já está na forma irredutível.