Questão 65 (IFAL-2009). Qual o número de divisores naturais de 35280, que por sua vez é divisível por 3?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos divisores naturais de 35280 são divisíveis por 3.
Informações dadas:
  • O número cujo conjunto de divisores devemos analisar é 35280.
  • A condição extra é que o divisor seja múltiplo de 3 (ou seja, seja divisível por 3).

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar 35280 em primos. Vou explicar a ideia: fatoração prima significa escrever o número como produto de potências de números primos distintos. Isso facilita contar divisores porque qualquer divisor corresponde a escolher um expoente para cada primo entre 0 e o expoente máximo presente.
Agora fatoro 35280 passo a passo:
35280 = 3528 \times 10
3528 = 8 \times 441 \quad\text{(pois \(3528\div 8=441\))}
8 = 2^3,\qquad 441 = 21^2 = (3\cdot 7)^2 = 3^2\cdot 7^2
Juntando:
3528 = 2^3\cdot 3^2\cdot 7^2
E como 10 = 2\cdot 5, temos
35280 = 3528 \times 10 = 2^3\cdot 3^2\cdot 7^2 \times 2\cdot 5 = 2^4\cdot 3^2\cdot 5^1\cdot 7^2.

Passo 3

Agora que temos a fatoração prima
35280 = 2^4\cdot 3^2\cdot 5^1\cdot 7^2,
explico a fórmula para contar divisores: se
N = p_1^{a_1}\,p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k},
onde os p_i são primos e os a_i são expoentes positivos, então o número de divisores naturais positivos de N é
(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1).
Isso ocorre porque, para cada primo p_i, um divisor pode conter p_i com expoente 0,1,\dots,a_i — são a_i+1 escolhas independentes.

Passo 4

Aplico a fórmula para contar todos os divisores de 35280:
\text{total de divisores}=(4+1)(2+1)(1+1)(2+1)=5\cdot 3\cdot 2\cdot 3.
Faço as contas:
5\cdot 3 =15,\qquad 15\cdot 2 =30,\qquad 30\cdot 3 =90.
Logo, 35280 tem 90 divisores naturais no total.

Passo 5

Agora conto especificamente os divisores que são divisíveis por 3. Dois modos equivalentes:
Modo A — contagem direta por escolhas de expoentes: para um divisor ser múltiplo de 3 ele deve conter 3 com expoente pelo menos 1. No nosso fator:
  • expoente de 2 pode ser 0,1,2,3,4 5 escolhas;
  • expoente de 3 pode ser 1 ou 2 2 escolhas (pois não permitimos 0);
  • expoente de 5 pode ser 0 ou 1 2 escolhas;
  • expoente de 7 pode ser 0,1,2 3 escolhas.
Multiplicando as escolhas independentes:
5\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 60.
Portanto há 60 divisores de 35280 que são divisíveis por 3.
Modo B — verificação por complementaridade: já vimos que o total de divisores é 90. Os divisores que NÃO são divisíveis por 3 são exatamente aqueles com expoente de 3 igual a 0. Contando-os:
\text{não múltiplos de }3 = 5\\ (\text{expoentes de }2)\times 1\\ (\text{expoente }3=0)\times 2\\ (\text{de }5)\times 3\\ (\text{de }7)=5\cdot1\cdot2\cdot3=30.ãú
Então os múltiplos de 3 são 90-30=60, que confirma o resultado do modo A.

Resposta

60

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