Questão 65 (IFAL-2009). Qual o número de divisores naturais de 35280, que por sua vez é divisível por 3?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos divisores naturais de
são divisíveis por
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O número cujo conjunto de divisores devemos analisar é
. - A condição extra é que o divisor seja múltiplo de
(ou seja, seja divisível por ).
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar
em primos. Vou explicar a ideia: fatoração prima significa escrever o número como produto de potências de números primos distintos. Isso facilita contar divisores porque qualquer divisor corresponde a escolher um expoente para cada primo entre
e o expoente máximo presente.
Agora fatoro
passo a passo:
Juntando:
E como
, temos
Passo 3
Agora que temos a fatoração prima
explico a fórmula para contar divisores: se
onde os
são primos e os
são expoentes positivos, então o número de divisores naturais positivos de
é
Isso ocorre porque, para cada primo
, um divisor pode conter
com expoente
— são
escolhas independentes.
Passo 4
Aplico a fórmula para contar todos os divisores de
:
Faço as contas:
Logo,
tem
divisores naturais no total.
Passo 5
Agora conto especificamente os divisores que são divisíveis por
. Dois modos equivalentes:
Modo A — contagem direta por escolhas de expoentes: para um divisor ser múltiplo de
ele deve conter
com expoente pelo menos
. No nosso fator:
- expoente de
pode ser — escolhas; - expoente de
pode ser ou — escolhas (pois não permitimos ); - expoente de
pode ser ou — escolhas; - expoente de
pode ser — escolhas.
Multiplicando as escolhas independentes:
Portanto há
divisores de
que são divisíveis por
.
Modo B — verificação por complementaridade: já vimos que o total de divisores é
. Os divisores que NÃO são divisíveis por
são exatamente aqueles com expoente de
igual a
. Contando-os:
Então os múltiplos de
são
, que confirma o resultado do modo A.