Questão 64. Um professor aplicou uma prova de matemática da recuperação e após os 9 alunos terminarem permitiu que os mesmos a corrigissem em sala olhando para o gabarito que ele colocou no quadro. A única exigência que o professor fez foi que nenhum aluno corrigisse sua própria prova. Se ao final, havia apenas 3 alunos que cumpriram a determinação do professor. De quantos modos possíveis pode ter sido corrigidas essas provas?
Passo 1
Vamos organizar o que o enunciado dá e o que ele pede, com calma e sem pânico (vai dar certo!).
- Há
alunos que fizeram a prova. - O professor exigiu que nenhum aluno corrigisse a sua própria prova.
- Ao final, apenas
alunos cumpriram essa determinação. - Pergunta: de quantos modos possíveis as provas podem ter sido corrigidas, isto é, de quantas maneiras os alunos poderiam ter ficado corrigindo as provas respeitando a situação descrita?
Observação direta: como há
alunos e somente
não corrigiram a própria prova, isso significa que exatamente
alunos corrigiram a sua própria prova (fixaram-se). Essa informação será usada adiante.
Passo 2
Modelagem combinatória (o passo mais importante para entender o raciocínio)
- Rotule os alunos por
. - Uma maneira de representar quem corrigiu a prova de quem é por uma permutação
dos índices , onde significa: "o aluno corrigiu a prova do aluno ". - Um “ponto fixo” da permutação (isto é, um
tal que ) corresponde a um aluno que corrigiu a própria prova. - Pelo enunciado, queremos contar permutações de
com exatamente pontos fixos.
Isto traduz o problema para: contar o número de permutações de
elementos com exatamente
elementos fixos.
Passo 3
Escolher quais são os
alunos que corrigiram a própria prova
- Primeiro escolhemos o conjunto de
alunos que terão ponto fixo (isto é, corrigiram a própria prova). - O número de maneiras de escolher esses
alunos dentre os é
- Explicando a notação:
é o número de combinações de elementos tomados a , isto é, a quantidade de subconjuntos de tamanho que se pode formar com elementos.
Passo 4
Arranjar as correções dos
alunos restantes (sem que nenhum corrija a própria)
- Depois de fixar quais
estão com provas corrigidas por si próprios, restam exatamente alunos cujas provas devem ser atribuídas entre eles. - Para esses
alunos precisamos de uma permutação sem pontos fixos (ou seja, uma derangement ou “desarranjo”) sobre elementos: nenhum desses pode corrigir sua própria prova. - O número de derangements de
elementos é frequentemente denotado por . Podemos calcular de forma direta listando as permutações de sem ponto fixo: -
(ciclo de comprimento 3) -
(o outro ciclo de comprimento 3)
Portanto
-
- (Alternativa: usar a fórmula
. Para dá .)
Passo 5
Aplicar o princípio multiplicativo e calcular o total
- Para cada escolha do conjunto de
alunos que ficaram com a própria prova, existem formas de distribuir as provas entre os restantes sem que nenhum corrija a sua. - Pelo princípio multiplicativo, o número total de arranjos é
- Substituindo os valores:
- Logo o total é
Passo 6
Interpretação e checagem rápida (para ficar confiante)
- Significa que há
maneiras diferentes de distribuir quais provas cada aluno corrigiu, de modo que exatamente alunos corrigiram a própria prova e exatamente não o fizeram. - Checagem rápida: se ao invés de
alunos que cumpriram tivéssemos outro número, o procedimento seria análogo (escolher os fixos e contar derangements dos restantes).
Resposta
168