Questão 64. Um professor aplicou uma prova de matemática da recuperação e após os 9 alunos terminarem permitiu que os mesmos a corrigissem em sala olhando para o gabarito que ele colocou no quadro. A única exigência que o professor fez foi que nenhum aluno corrigisse sua própria prova. Se ao final, havia apenas 3 alunos que cumpriram a determinação do professor. De quantos modos possíveis pode ter sido corrigidas essas provas?

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado dá e o que ele pede, com calma e sem pânico (vai dar certo!).
  • 9 alunos que fizeram a prova.
  • O professor exigiu que nenhum aluno corrigisse a sua própria prova.
  • Ao final, apenas 3 alunos cumpriram essa determinação.
  • Pergunta: de quantos modos possíveis as provas podem ter sido corrigidas, isto é, de quantas maneiras os alunos poderiam ter ficado corrigindo as provas respeitando a situação descrita?
Observação direta: como há 9 alunos e somente 3 não corrigiram a própria prova, isso significa que exatamente 6 alunos corrigiram a sua própria prova (fixaram-se). Essa informação será usada adiante.

Passo 2

Modelagem combinatória (o passo mais importante para entender o raciocínio)
  • Rotule os alunos por 1,2,\dots,9.
  • Uma maneira de representar quem corrigiu a prova de quem é por uma permutação \sigma dos índices \{1,\dots,9\}, onde \sigma(i)=j significa: "o aluno i corrigiu a prova do aluno j".
  • Um “ponto fixo” da permutação (isto é, um i tal que \sigma(i)=i) corresponde a um aluno que corrigiu a própria prova.
  • Pelo enunciado, queremos contar permutações de \{1,\dots,9\} com exatamente 6 pontos fixos.
Isto traduz o problema para: contar o número de permutações de 9 elementos com exatamente 6 elementos fixos.

Passo 3

Escolher quais são os 6 alunos que corrigiram a própria prova
  • Primeiro escolhemos o conjunto de 6 alunos que terão ponto fixo (isto é, corrigiram a própria prova).
  • O número de maneiras de escolher esses 6 alunos dentre os 9 é
\binom{9}{6}.
  • Explicando a notação: \binom{9}{6} é o número de combinações de 9 elementos tomados 6 a 6, isto é, a quantidade de subconjuntos de tamanho 6 que se pode formar com 9 elementos.

Passo 4

Arranjar as correções dos 3 alunos restantes (sem que nenhum corrija a própria)
  • Depois de fixar quais 6 estão com provas corrigidas por si próprios, restam exatamente 3 alunos cujas provas devem ser atribuídas entre eles.
  • Para esses 3 alunos precisamos de uma permutação sem pontos fixos (ou seja, uma derangement ou “desarranjo”) sobre 3 elementos: nenhum desses 3 pode corrigir sua própria prova.
  • O número de derangements de 3 elementos é frequentemente denotado por !3. Podemos calcular !3 de forma direta listando as permutações de \{a,b,c\} sem ponto fixo:
    • a\to b,\\ b\to c,\\ c\to a (ciclo de comprimento 3)
    • a\to c,\\ c\to b,\\ b\to a (o outro ciclo de comprimento 3)
      Portanto
    !3 = 2.
  • (Alternativa: usar a fórmula !n = n!\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k}{k!}. Para n=3 !3=3!\left(1-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}\right)=6\left(1-1+\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{6}\right)=6\cdot\tfrac{1}{3}=2.)

Passo 5

Aplicar o princípio multiplicativo e calcular o total
  • Para cada escolha do conjunto de 6 alunos que ficaram com a própria prova, existem !3 formas de distribuir as provas entre os 3 restantes sem que nenhum corrija a sua.
  • Pelo princípio multiplicativo, o número total de arranjos é
\binom{9}{6}\cdot !3.
  • Substituindo os valores:
\binom{9}{6}= \binom{9}{3}= \frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}=84, \qquad !3=2.
  • Logo o total é
84\cdot 2 = 168.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida (para ficar confiante)
  • Significa que há 168 maneiras diferentes de distribuir quais provas cada aluno corrigiu, de modo que exatamente 6 alunos corrigiram a própria prova e exatamente 3 não o fizeram.
  • Checagem rápida: se ao invés de 3 alunos que cumpriram tivéssemos outro número, o procedimento seria análogo (escolher os fixos e contar derangements dos restantes).

Resposta

168

Exercícios relacionados