Questão 65. Resolva os problemas a seguir:
Justifique se existe um polinômio
de grau três tal que
e
.
Justifique se existe um polinômio
Passo 1
O enunciado dá cinco condições sobre um polinômio
e pede para justificar se existe um polinômio de grau três que as satisfaça. As informações fornecidas são:
-
, -
, -
, -
, -
.
A pergunta é: existe um polinômio de grau três
que atende todas essas cinco igualdades simultaneamente?
Passo 2
Vamos escrever a forma geral de um polinômio de grau três com coeficientes reais:
onde
são números reais desconhecidos. Cada condição
dá uma equação linear em
. Como temos quatro incógnitas, quatro condições normalmente determinam os coeficientes de forma única (desde que os pontos
sejam distintos — isso é um fato padrão: um polinômio de grau
é determinado unicamente por quatro valores em abscissas distintas). Aqui temos cinco condições, portanto o sistema está, em princípio, sobredeterminado; é preciso verificar se todas são compatíveis.
Passo 3
Escrever as equações obtidas das quatro primeiras condições (vamos usar as quatro primeiras para determinar
e depois checar a quinta):
Passo 4
Eliminamos
usando a primeira equação. Da primeira equação segue
Substituindo esse
nas outras três equações obtemos:
Passo 5
Agora temos o sistema reduzido em três equações:
Da primeira equação isolamos
:
Passo 6
Substituímos
nas outras duas equações:
Passo 7
Subtraindo as duas últimas equações para eliminar
:
Com
, da equação
obtemos
Com
e
, voltamos a
:
E por fim
:
Passo 8
Encontramos, portanto, o polinômio de grau três que passa por
:
Repare que, conforme mencionado antes, quatro pontos com abscissas distintas determinam unicamente um polinômio de grau
; então esse é o único candidato possível para um cúbico que satisfaça as quatro primeiras condições.
Passo 9
Agora checamos a quinta condição: calculamos
para esse polinômio.
Passo 10
Comparando com a condição pedida
, vemos que o valor que o único cúbico compatível com as quatro primeiras condições toma em
é
, não
. Logo as cinco condições são inconsistentes entre si para um polinômio de grau três.
Resposta
Não existe tal polinômio; o único polinômio de grau três que satisfaz
é
, e ele dá
.