Questão 65. Resolva os problemas a seguir:
Justifique se existe um polinômio g(x) de grau três tal que g(1)=0, g(-1)=4, g(2)=7, g(3)=28 e g(-2)=1.

Passo 1

O enunciado dá cinco condições sobre um polinômio g(x) e pede para justificar se existe um polinômio de grau três que as satisfaça. As informações fornecidas são:
  • g(1)=0,
  • g(-1)=4,
  • g(2)=7,
  • g(3)=28,
  • g(-2)=1.
A pergunta é: existe um polinômio de grau três g(x) que atende todas essas cinco igualdades simultaneamente?

Passo 2

Vamos escrever a forma geral de um polinômio de grau três com coeficientes reais:
g(x)=ax^3+bx^2+cx+d,
onde a,b,c,d são números reais desconhecidos. Cada condição g(x_0)=y_0 dá uma equação linear em a,b,c,d. Como temos quatro incógnitas, quatro condições normalmente determinam os coeficientes de forma única (desde que os pontos x_0 sejam distintos — isso é um fato padrão: um polinômio de grau \leq 3 é determinado unicamente por quatro valores em abscissas distintas). Aqui temos cinco condições, portanto o sistema está, em princípio, sobredeterminado; é preciso verificar se todas são compatíveis.

Passo 3

Escrever as equações obtidas das quatro primeiras condições (vamos usar as quatro primeiras para determinar a,b,c,d e depois checar a quinta):
\begin{aligned} g(1)=0 &\Rightarrow a+b+c+d=0,\\\ g(-1)=4 &\Rightarrow -a+b-c+d=4,\\\ g(2)=7 &\Rightarrow 8a+4b+2c+d=7,\\\ g(3)=28 &\Rightarrow 27a+9b+3c+d=28. \end{aligned}

Passo 4

Eliminamos d usando a primeira equação. Da primeira equação segue
d=-a-b-c.
Substituindo esse d nas outras três equações obtemos:
\begin{aligned} \text{(da segunda):}\quad & -a+b-c+(-a-b-c)=4 \\\ &\Rightarrow -2a-2c=4 \\\ &\Rightarrow a+c=-2. \\\ \text{(da terceira):}\quad & 8a+4b+2c+(-a-b-c)=7 \\\ &\Rightarrow 7a+3b+c=7. \\\ \text{(da quarta):}\quad & 27a+9b+3c+(-a-b-c)=28 \\\ &\Rightarrow 26a+8b+2c=28 \\\ &\Rightarrow 13a+4b+c=14. \end{aligned}

Passo 5

Agora temos o sistema reduzido em três equações:
\begin{aligned} a+c&=-2, \\\\ 7a+3b+c&=7, \\\\ 13a+4b+c&=14. \end{aligned}
Da primeira equação isolamos c:
c=-2-a.

Passo 6

Substituímos c=-2-a nas outras duas equações:
\begin{aligned} 7a+3b+(-2-a)&=7 &\Rightarrow\\\ 6a+3b-2=7 &\Rightarrow\\\ 6a+3b=9 &\Rightarrow\\\ 2a+b=3,\\\\ 13a+4b+(-2-a)&=14 &\Rightarrow\\\ 12a+4b-2=14 &\Rightarrow\\\ 12a+4b=16 &\Rightarrow\\\ 3a+b=4. \end{aligned}

Passo 7

Subtraindo as duas últimas equações para eliminar b:
(3a+b)-(2a+b)=4-3 \Rightarrow a=1.
Com a=1, da equação 2a+b=3 obtemos
2\cdot 1 + b =3 \Rightarrow b=1.
Com a=1 e b=1, voltamos a c=-2-a:
c=-2-1=-3.
E por fim d=-a-b-c:
d=-1-1-(-3)=1.

Passo 8

Encontramos, portanto, o polinômio de grau três que passa por (1,0),(-1,4),(2,7),(3,28):
g(x)=x^3+x^2-3x+1.
Repare que, conforme mencionado antes, quatro pontos com abscissas distintas determinam unicamente um polinômio de grau \leq 3; então esse é o único candidato possível para um cúbico que satisfaça as quatro primeiras condições.

Passo 9

Agora checamos a quinta condição: calculamos g(-2) para esse polinômio.
g(-2)=(-2)^3+(-2)^2-3(-2)+1 = -8+4+6+1 =3.

Passo 10

Comparando com a condição pedida g(-2)=1, vemos que o valor que o único cúbico compatível com as quatro primeiras condições toma em -2 é 3, não 1. Logo as cinco condições são inconsistentes entre si para um polinômio de grau três.

Resposta

Não existe tal polinômio; o único polinômio de grau três que satisfaz g(1)=0,\\ g(-1)=4,\\ g(2)=7,\\ g(3)=28 é g(x)=x^3+x^2-3x+1, e ele dá g(-2)=3\neq1.

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