Em cada um dos Problemas 1 a 8:
G a. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
b. Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de
.
c. Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
.
G a. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
b. Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de
c. Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
e pede três coisas:
- (a) desenhar um campo de direções para essa equação (ou seja, mostrar as inclinações
em pontos ); - (b) a partir do campo de direções, descrever o comportamento das soluções para valores grandes de
; - (c) encontrar a solução geral e usar essa solução para determinar o comportamento das soluções quando
.
Informações relevantes dadas:
- A equação pode ser escrita isolando
como
- Não há condição inicial fornecida, então teremos uma família de soluções com uma constante arbitrária.
Passo 2
Como construir e interpretar o campo de direções (aula curta e prática).
- Um campo de direções é formado plotando, em vários pontos
do plano, pequenos segmentos cuja inclinação é exatamente dada pela equação. Aqui a regra é
- Para desenhar, escolha uma grade de pontos
e calcule a inclinação em cada ponto com essa fórmula. Exemplos numéricos simples (pega-se o valor de usando a fórmula acima): - Em
: (segmento horizontal). - Em
: (ligeiro declive negativo). - Em
: (declive positivo acentuado). - Em
: (muito inclinada para cima). - Em
: (inclinada para baixo).
- Em
- Observações úteis para esboçar rápido:
- A curva onde
(isoclina horizontal) satisfaz — em cada ponto dessa parábola o segmento é horizontal. - Se
então (setas apontam para cima), se então (setas apontam para baixo). - Para
grande, é grande e positivo, então as inclinações tendem a ser grandes positivas quando estiver bem abaixo de , e grandes negativas quando estiver bem acima de .
- A curva onde
- Intuição: isso mostra que, à medida que
cresce, as soluções são “puxadas” para uma curva que cresce como (mais detalhes formais virão depois). Desenhe várias curvas integrais seguindo os segmentos para ver esse comportamento.
Passo 3
Resolver a equação diferencial (método explicado passo a passo).
- Primeiro, coloque a equação na forma padrão
dividindo por :
Aqui
(constante) e
.
- Método do fator integrante (explicação): para uma equação
, o fator integrante é
Multiplicando a equação por
transforma o lado esquerdo em derivada do produto
. Depois integra-se ambos os lados para achar
.
- Calcule o fator integrante aqui:
- Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada de
, então
- Integrar ambos os lados em relação a
:
Agora precisamos calcular a integral
. Façamos isso com integrações por partes, passo a passo (ensina como fazer):
- Seja
. Tire o fator e use integração por partes com , . - Primeiro observe que
. Assim, com e temos e . Aplicando partes:
- Para
, faça outra integração por partes: escolha , . Então , , e
- Substituindo em
(lembrando do fator ):
Multiplicando por
:
- Assim voltamos à expressão para
:
Dividindo por
obtemos a solução geral:
onde
é constante arbitrária (determinado por condição inicial, se existisse).
Obs.: outra via mais rápida para obter um termo particular é tentar
polinomial de grau 2 e ajustar coeficientes (método dos coeficientes indeterminados); isso também leva a
.
Passo 4
Comportamento assintótico quando
(análise detalhada).
- A solução geral é
- O termo
tende a quando , porque a exponencial decai rapidamente para zero. Portanto o comportamento dominante para grande é dado pelo polinômio . - Em termos de limite:
pois o termo
cresce sem limite (os outros termos são de ordem menor).
- Mais informativo: todas as soluções da família diferem entre si apenas pelo termo
. Assim, para quaisquer duas soluções com constantes ,
Isto significa que, embora todas as soluções cresçam como
para
grande, elas se aproximam umas das outras exponencialmente rápido e ficam cada vez mais próximas da solução particular
.
- Essa análise confirma e precisa o que o campo de direções sugeria: as trajetórias são atraídas para o perfil
(no sentido de que a diferença para tende a zero), e todas elas crescem como quando aumenta.
Passo 5
Resumo qualitativo ligado ao campo de direções (conexão final).
- No campo de direções, a isoclina
separa regiões onde as inclinações são positivas (abaixo dela) e negativas (acima dela). Isso garante que soluções que estejam abaixo tendem a subir e as acima tendem a descer, o que gera a tendência de aproximação a uma curva central. - A curva realmente atraente (solução particular) é
. Todas as soluções são dessa curva mais um decaimento exponencial , então as soluções acompanham o crescimento quadrático de e se aproximam dela quando .
Resposta
(a) Campo de direções dado pelas inclinações
. Isoclina horizontal:
. Para
as setas apontam para cima e para
apontam para baixo; para
grande as inclinações são grandes em magnitude dependendo da diferença
.
(b) Para todas as soluções crescem sem limite e se aproximam da mesma curva polinomial: as diferenças entre soluções decaem exponencialmente, ou seja, as trajetórias são atraídas para um perfil que cresce como
.
(c) Solução geral:
(b) Para
(c) Solução geral:
Comportamento quando
:
e
; o termo
tende a
, portanto todas as soluções convergem exponencialmente para
.