Em cada um dos Problemas 1 a 8:
G a. Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada.
b. Com base em uma análise do campo de direções, descreva o comportamento das soluções para valores grandes de t.
c. Encontre a solução geral da equação diferencial dada e use-a para determinar o comportamento das soluções quando t \rightarrow \infty.
2 y^{\prime}+y=3 t^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
2y' + y = 3t^2
e pede três coisas:
  • (a) desenhar um campo de direções para essa equação (ou seja, mostrar as inclinações y' em pontos (t,y));
  • (b) a partir do campo de direções, descrever o comportamento das soluções para valores grandes de t;
  • (c) encontrar a solução geral e usar essa solução para determinar o comportamento das soluções quando t\to\infty.
Informações relevantes dadas:
  • A equação pode ser escrita isolando y' como
y'=\frac{3t^2-y}{2}.
  • Não há condição inicial fornecida, então teremos uma família de soluções com uma constante arbitrária.

Passo 2

Como construir e interpretar o campo de direções (aula curta e prática).
  • Um campo de direções é formado plotando, em vários pontos (t,y) do plano, pequenos segmentos cuja inclinação é exatamente y' dada pela equação. Aqui a regra é
y'=\frac{3t^2-y}{2}.
  • Para desenhar, escolha uma grade de pontos (t_k,y_\ell) e calcule a inclinação em cada ponto com essa fórmula. Exemplos numéricos simples (pega-se o valor de y' usando a fórmula acima):
    • Em (t,y)=(0,0): y'=(0-0)/2=0 (segmento horizontal).
    • Em (t,y)=(0,1): y'=(0-1)/2=-\tfrac{1}{2} (ligeiro declive negativo).
    • Em (t,y)=(1,0): y'=(3-0)/2=\tfrac{3}{2} (declive positivo acentuado).
    • Em (t,y)=(2,0): y'=(12-0)/2=6 (muito inclinada para cima).
    • Em (t,y)=(2,20): y'=(12-20)/2=-4 (inclinada para baixo).
  • Observações úteis para esboçar rápido:
    • A curva onde y'=0 (isoclina horizontal) satisfaz y=3t^2 — em cada ponto dessa parábola o segmento é horizontal.
    • Se y<3t^2 então y'>0 (setas apontam para cima), se y>3t^2 então y'<0 (setas apontam para baixo).
    • Para t grande, 3t^2 é grande e positivo, então as inclinações tendem a ser grandes positivas quando y estiver bem abaixo de 3t^2, e grandes negativas quando y estiver bem acima de 3t^2.
  • Intuição: isso mostra que, à medida que t cresce, as soluções são “puxadas” para uma curva que cresce como t^2 (mais detalhes formais virão depois). Desenhe várias curvas integrais seguindo os segmentos para ver esse comportamento.

Passo 3

Resolver a equação diferencial (método explicado passo a passo).
  • Primeiro, coloque a equação na forma padrão y'+p(t)y=g(t) dividindo por 2:
y' + \tfrac{1}{2}y = \tfrac{3}{2}t^2.
Aqui p(t)=\tfrac{1}{2} (constante) e g(t)=\tfrac{3}{2}t^2.
  • Método do fator integrante (explicação): para uma equação y'+p(t)y=g(t), o fator integrante é
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
Multiplicando a equação por \mu(t) transforma o lado esquerdo em derivada do produto (\mu y)'. Depois integra-se ambos os lados para achar y.
  • Calcule o fator integrante aqui:
\mu(t)=e^{\int \tfrac{1}{2}dt}=e^{t/2}.
  • Multiplicando a equação por \mu(t):
e^{t/2}y' + \tfrac{1}{2}e^{t/2}y = \tfrac{3}{2}t^2 e^{t/2}.
O lado esquerdo é a derivada de e^{t/2}y, então
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t/2}y\bigr)=\tfrac{3}{2}t^2 e^{t/2}.
  • Integrar ambos os lados em relação a t:
e^{t/2}y = \int \tfrac{3}{2}t^2 e^{t/2}\,dt + C.
Agora precisamos calcular a integral \int \tfrac{3}{2}t^2 e^{t/2}\,dt. Façamos isso com integrações por partes, passo a passo (ensina como fazer):
  • Seja I=\int \tfrac{3}{2}t^2 e^{t/2}\,dt. Tire o fator \tfrac{3}{2} e use integração por partes com u=t^2, dv=e^{t/2}dt.
  • Primeiro observe que \int e^{t/2}dt = 2e^{t/2}. Assim, com u=t^2 e dv=e^{t/2}dt temos du=2t\,dt e v=2e^{t/2}. Aplicando partes:
\int t^2 e^{t/2}dt = t^2\cdot 2e^{t/2} - \int 2e^{t/2}\cdot 2t\,dt = 2t^2 e^{t/2} -4\int t e^{t/2}dt.
  • Para J=\int t e^{t/2}dt, faça outra integração por partes: escolha u=t, dv=e^{t/2}dt. Então du=dt, v=2e^{t/2}, e
J = t\cdot 2e^{t/2} - \int 2e^{t/2}dt = 2t e^{t/2} - 4 e^{t/2}.
  • Substituindo em I (lembrando do fator \tfrac{3}{2}):
\int t^2 e^{t/2}dt = 2t^2 e^{t/2} -4(2t e^{t/2} -4e^{t/2}) = 2t^2 e^{t/2} -8t e^{t/2} +16 e^{t/2}.
Multiplicando por \tfrac{3}{2}:
I = \tfrac{3}{2}\int t^2 e^{t/2}dt = \tfrac{3}{2}\bigl(2t^2 e^{t/2} -8t e^{t/2} +16 e^{t/2}\bigr) = e^{t/2}(3t^2 -12t +24).
  • Assim voltamos à expressão para y:
e^{t/2}y = e^{t/2}(3t^2 -12t +24) + C.
Dividindo por e^{t/2} obtemos a solução geral:
\boxed{\,y(t)=3t^2 -12t +24 + C e^{-t/2}\,}
onde C é constante arbitrária (determinado por condição inicial, se existisse).
Obs.: outra via mais rápida para obter um termo particular é tentar y_p(t) polinomial de grau 2 e ajustar coeficientes (método dos coeficientes indeterminados); isso também leva a y_p(t)=3t^2-12t+24.

Passo 4

Comportamento assintótico quando t\to\infty (análise detalhada).
  • A solução geral é
y(t)=3t^2 -12t +24 + C e^{-t/2}.
  • O termo C e^{-t/2} tende a 0 quando t\to\infty, porque a exponencial e^{-t/2} decai rapidamente para zero. Portanto o comportamento dominante para t grande é dado pelo polinômio 3t^2-12t+24.
  • Em termos de limite:
\lim_{t\to\infty} y(t) = \lim_{t\to\infty} \bigl(3t^2 -12t +24 + C e^{-t/2}\bigr) = +\infty,
pois o termo 3t^2 cresce sem limite (os outros termos são de ordem menor).
  • Mais informativo: todas as soluções da família diferem entre si apenas pelo termo C e^{-t/2}. Assim, para quaisquer duas soluções y_1,y_2 com constantes C_1,C_2,
y_1(t)-y_2(t)=(C_1-C_2)e^{-t/2}\to 0\quad\text{quando }t\to\infty.
Isto significa que, embora todas as soluções cresçam como 3t^2 para t grande, elas se aproximam umas das outras exponencialmente rápido e ficam cada vez mais próximas da solução particular y_p(t)=3t^2-12t+24.
  • Essa análise confirma e precisa o que o campo de direções sugeria: as trajetórias são atraídas para o perfil y_p(t) (no sentido de que a diferença para y_p tende a zero), e todas elas crescem como 3t^2 quando t aumenta.

Passo 5

Resumo qualitativo ligado ao campo de direções (conexão final).
  • No campo de direções, a isoclina y=3t^2 separa regiões onde as inclinações são positivas (abaixo dela) e negativas (acima dela). Isso garante que soluções que estejam abaixo tendem a subir e as acima tendem a descer, o que gera a tendência de aproximação a uma curva central.
  • A curva realmente atraente (solução particular) é y_p(t)=3t^2-12t+24. Todas as soluções são dessa curva mais um decaimento exponencial C e^{-t/2}, então as soluções acompanham o crescimento quadrático de y_p e se aproximam dela quando t\to\infty.

Resposta

(a) Campo de direções dado pelas inclinações y'=\dfrac{3t^2-y}{2}. Isoclina horizontal: y=3t^2. Para y<3t^2 as setas apontam para cima e para y>3t^2 apontam para baixo; para t grande as inclinações são grandes em magnitude dependendo da diferença 3t^2-y.
(b) Para t\to\infty todas as soluções crescem sem limite e se aproximam da mesma curva polinomial: as diferenças entre soluções decaem exponencialmente, ou seja, as trajetórias são atraídas para um perfil que cresce como 3t^2.
(c) Solução geral:
y(t)=3t^2-12t+24 + C e^{-t/2}.
Comportamento quando t\to\infty: y(t)\sim 3t^2-12t+24 e \lim_{t\to\infty}y(t)=+\infty; o termo C e^{-t/2} tende a 0, portanto todas as soluções convergem exponencialmente para y_p(t)=3t^2-12t+24.

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