Questão 70: Distribuição de Maxwell I
A distribuição de Maxwell para o modelo de velocidades é dada pela seguinte expressão:
f(v)=\left(\frac{2 \pi k T}{m}\right)^{\frac{3}{2}} 4 \pi v^{2} \exp \left(-\frac{m v^{2}}{2 k T}\right),
onde T representa a temperatura, k=\frac{R}{N_{A}} é a constante de Boltzmann, sendo N_{A} a constante de Avogadro. Demonstre:
Mais provável (a velocidade com maior probabilidade)
v_{p}=\sqrt{\frac{2 k T}{m}} .
Dica: Demonstre e utilize a seguinte relação:
\int_{0}^{\infty} d x \exp \left(-a x^{2}\right)=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a}}

Passo 1

O enunciado apresenta a distribuição de velocidades de Maxwell
f(v)=\Bigl(\frac{2\pi kT}{m}\Bigr)^{\tfrac32}4\pi v^2\exp\!\Bigl(-\frac{mv^2}{2kT}\Bigr)
e pede a velocidade v_p que maximiza essa função, ou seja, a mais provável. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas e buscar o ponto onde f'(v)=0. A dica sobre
\int_{0}^{\infty}dx\;\exp(-ax^2)=\tfrac12\sqrt{\tfrac{\pi}{a}}
garante que a constante à frente de v^2\exp(-av^2) normaliza f(v), mas não é essencial para achar v_p.

Passo 2

Observe que podemos escrever
f(v)=C\,v^2\,e^{-a v^2},
onde
C=\Bigl(\frac{2\pi kT}{m}\Bigr)^{\tfrac32}4\pi \quad\text{e}\quad a=\frac{m}{2kT}.
Como C>0 não altera a posição do máximo, focamos em
g(v)=v^2\,e^{-a v^2}.
Calculamos a derivada
g'(v) =\frac{d}{dv}\bigl(v^2 e^{-a v^2}\bigr) =2v\,e^{-a v^2}+v^2\,e^{-a v^2}\bigl(-2a v\bigr).

Passo 3

Fatorando 2v\,e^{-a v^2} em g'(v), obtemos
g'(v) =2v\,e^{-a v^2}\bigl[1 - a v^2\bigr].
A condição g'(v)=0 dá duas soluções: v=0 e 1 - a v^2=0. A solução não trivial é
1 - a v^2=0 \;\Longrightarrow\; v^2=\frac{1}{a} \;\Longrightarrow\; v=\sqrt{\frac{1}{a}}.

Passo 4

Substituindo a=\tfrac{m}{2kT}, vem
v_p =\sqrt{\frac{1}{a}} =\sqrt{\frac{2kT}{m}}.
Além disso, para v>0, g'(v) passa de positivo (quando v<\sqrt{1/a}) para negativo (quando v>\sqrt{1/a}), confirmando que esse ponto é de máximo.

Resposta

v_{p}=\sqrt{\frac{2kT}{m}}.

Exercícios relacionados