Questão 70: Distribuição de Maxwell I
A distribuição de Maxwell para o modelo de velocidades é dada pela seguinte expressão:
onde
representa a temperatura,
é a constante de Boltzmann, sendo
a constante de Avogadro. Demonstre:
Mais provável (a velocidade com maior probabilidade)
Dica: Demonstre e utilize a seguinte relação:
Passo 1
O enunciado apresenta a distribuição de velocidades de Maxwell
e pede a velocidade
que maximiza essa função, ou seja, a mais provável. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas e buscar o ponto onde
. A dica sobre
garante que a constante à frente de
normaliza
, mas não é essencial para achar
.
Passo 2
Observe que podemos escrever
onde
Como
não altera a posição do máximo, focamos em
Calculamos a derivada
Passo 3
Fatorando
em
, obtemos
A condição
dá duas soluções:
e
. A solução não trivial é
Passo 4
Substituindo
, vem
Além disso, para
,
passa de positivo (quando
) para negativo (quando
), confirmando que esse ponto é de máximo.