1. O volume de um gás ideal é reduzido adiabaticamente de 200 L para 74,3 \mathrm{~L}. A pressão e o volume iniciais são 1,20 \mathrm{~atm} e 0,200 \mathrm{~m}^{3}. A pressão final é 2,40 \mathrm{~atm}. Qual é o trabalho realizado pelo gás?

Passo 1

O enunciado diz que um gás ideal sofre uma compressão adiabática reversível de V_1=200\text{ L}=0{,}200\\ \mathrm{m^3} até V_2=74{,}3\text{ L}=0{,}0743\\ \mathrm{m^3}, com pressões iniciais e finais P_1=1{,}20\\ \mathrm{atm} e P_2=2{,}40\\ \mathrm{atm}. Em um processo adiabático reversível vale
P\,V^{\gamma}=\text{constante}
e o trabalho realizado pelo gás é
W=\int_{V_1}^{V_2}P\,dV.

Passo 2

Pela condição adiabática reversível,
P_1V_1^{\gamma}=P_2V_2^{\gamma}
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\gamma =\frac{\ln\bigl(P_2/P_1\bigr)}{\ln\bigl(V_1/V_2\bigr)}.

Passo 3

A integral do trabalho para um processo adiabático reversível resulta na fórmula
W=\frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-\gamma}.

Passo 4

Primeiro convertemos para SI usando 1\\ \mathrm{atm}=1{,}013\times10^5\\ \mathrm{Pa}:
P_1=1{,}20\times1{,}013\times10^5=1{,}216\times10^5\\ \mathrm{Pa},\qquad P_2=2{,}40\times1{,}013\times10^5=2{,}432\times10^5\\ \mathrm{Pa}.
Calculamos \gamma:
\gamma =\frac{\ln(2,432\times10^5/1,216\times10^5)}{\ln(0{,}200/0{,}0743)} =\frac{\ln(2)}{\ln(2{,}692)}\approx0{,}700.
Em seguida,
P_1V_1=1{,}216\times10^5\times0{,}200=2{,}432\times10^4\\ \mathrm{J},\qquad P_2V_2=2{,}432\times10^5\times0{,}0743\approx1{,}807\times10^4\\ \mathrm{J}.
Finalmente,
W=\frac{1{,}807\times10^4 - 2{,}432\times10^4}{1 - 0{,}700} =\frac{-6{,}25\times10^3}{0{,}300} \approx -2{,}08\times10^4\\ \mathrm{J}.

Resposta

O trabalho realizado pelo gás é aproximadamente -2,08\times10^4\\ \mathrm{J}.

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