Questão 72 (MA12-AV2-PROFMAT-2014). De um grupo de 12 mulheres, sendo Paula uma delas, e de 10 homens, sendo Felipe um deles, quantas comissões podem ser formadas com:
6 pessoas, sendo 3 de cada sexo e de modo que Paula e Felipe façam parte?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma contagem:
  • 12 mulheres no total, e Paula é uma delas.
  • 10 homens no total, e Felipe é um deles.
  • Quer-se formar comissões de 6 pessoas, com exatamente 3 mulheres e 3 homens.
  • Além disso, Paula e Felipe devem fazer parte da comissão.
A pergunta é: quantas comissões diferentes satisfazem todas essas condições?

Passo 2

Entendimento estratégico (sem ainda calcular): como Paula e Felipe são obrigatórios, eles já ocupam uma vaga de mulher e uma vaga de homem na comissão. Portanto restam a escolher:
  • 2 mulheres dentre as demais 11 mulheres (porque 12 totais menos Paula = 11),
  • 2 homens dentre as demais 9 homens (porque 10 totais menos Felipe = 9).
Logo o problema reduz-se a contar de quantas maneiras podemos escolher 2 entre 11 e 2 entre 9, e depois combinar essas escolhas.

Passo 3

Ferramenta que vamos usar: o número de maneiras de escolher k objetos dentre n quando a ordem não importa é dado pelo coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) significa n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1.
Intuição rápida: \binom{n}{k} conta subconjuntos de tamanho k de um conjunto com n elementos.
Exemplo pequeno para fixar a ideia: \binom{5}{2}=\dfrac{5\cdot4}{2}=10, ou seja, há 10 maneiras de escolher 2 elementos dentre 5.

Passo 4

Calcular o número de escolhas de mulheres restantes:
\binom{11}{2}=\frac{11\cdot10}{2}=55.
Explicação do cálculo: ao aplicar a fórmula \dfrac{11!}{2!9!} muitos fatores se cancelam, sobrando \dfrac{11\cdot10}{2}.

Passo 5

Calcular o número de escolhas de homens restantes:
\binom{9}{2}=\frac{9\cdot8}{2}=36.
Mesma ideia de cancelamento: \dfrac{9!}{2!7!}=\dfrac{9\cdot8}{2}.

Passo 6

Combinar as escolhas (princípio multiplicativo): a escolha de mulheres é independente da escolha de homens, então multiplicamos os números de possibilidades:
\text{Total}=\binom{11}{2}\cdot\binom{9}{2}=55\cdot36.
Fazendo a conta manualmente:
55\cdot36=50\cdot36+5\cdot36=1800+180=1980.

Resposta

1980

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