Questão 72 (MA12-AV2-PROFMAT-2014). De um grupo de 12 mulheres, sendo Paula uma delas, e de 10 homens, sendo Felipe um deles, quantas comissões podem ser formadas com:
6 pessoas, sendo 3 de cada sexo e de modo que Paula e Felipe façam parte?
6 pessoas, sendo 3 de cada sexo e de modo que Paula e Felipe façam parte?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma contagem:
- Há
mulheres no total, e Paula é uma delas. - Há
homens no total, e Felipe é um deles. - Quer-se formar comissões de
pessoas, com exatamente mulheres e homens. - Além disso, Paula e Felipe devem fazer parte da comissão.
A pergunta é: quantas comissões diferentes satisfazem todas essas condições?
Passo 2
Entendimento estratégico (sem ainda calcular): como Paula e Felipe são obrigatórios, eles já ocupam uma vaga de mulher e uma vaga de homem na comissão. Portanto restam a escolher:
-
mulheres dentre as demais mulheres (porque totais menos Paula = ), -
homens dentre as demais homens (porque totais menos Felipe = ).
Logo o problema reduz-se a contar de quantas maneiras podemos escolher
entre
e
entre
, e depois combinar essas escolhas.
Passo 3
Ferramenta que vamos usar: o número de maneiras de escolher
objetos dentre
quando a ordem não importa é dado pelo coeficiente binomial
onde
(fatorial de
) significa
.
Intuição rápida: conta subconjuntos de tamanho
de um conjunto com
elementos.
Intuição rápida:
Exemplo pequeno para fixar a ideia:
, ou seja, há
maneiras de escolher
elementos dentre
.
Passo 4
Calcular o número de escolhas de mulheres restantes:
Explicação do cálculo: ao aplicar a fórmula
muitos fatores se cancelam, sobrando
.
Passo 5
Calcular o número de escolhas de homens restantes:
Mesma ideia de cancelamento:
.
Passo 6
Combinar as escolhas (princípio multiplicativo): a escolha de mulheres é independente da escolha de homens, então multiplicamos os números de possibilidades:
Fazendo a conta manualmente: