Questão 72 (MA12-AV2-PROFMAT-2014). De um grupo de 12 mulheres, sendo Paula uma delas, e de 10 homens, sendo Felipe um deles, quantas comissões podem ser formadas com:
5 pessoas, sendo pelo menos 3 mulheres?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 12 mulheres (Paula é uma delas).
  • 10 homens (Felipe é um deles).
  • Quer-se formar comissões de 5 pessoas com a restrição “pelo menos 3 mulheres”.
O que o problema pede: calcular quantas comissões de 5 pessoas é possível formar satisfazendo a condição “pelo menos 3 mulheres”.

Passo 2

Ideia de resolução (sem calcular ainda): “Pelo menos 3 mulheres” significa que a comissão pode ter exatamente 3, exatamente 4 ou exatamente 5 mulheres. Vou contar quantas comissões ocorrem em cada um desses casos e somar os resultados. Isso porque esses casos são mutuamente exclusivos e cobrem todas as possibilidades pedidas.

Passo 3

Breve aula sobre combinações (o que vou usar para contar):
  • Quando eu quero escolher k pessoas de um grupo de n pessoas, sem ordem (ou seja, a ordem na comissão não importa), o número de maneiras é dado pelo coeficiente binomial
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1.
  • Interpretação prática: \binom{12}{3} é o número de formas de escolher 3 mulheres dentre 12; \binom{10}{2} é o número de formas de escolher 2 homens dentre 10. Se quero 3 mulheres e 2 homens ao mesmo tempo, multiplico \binom{12}{3} por \binom{10}{2} (princípio multiplicativo).

Passo 4

Caso 1: exatamente 3 mulheres e 2 homens.
  • Número de formas de escolher 3 mulheres: \displaystyle \binom{12}{3}=\frac{12\cdot11\cdot10}{3\cdot2\cdot1}.
    Calculemos passo a passo:
\frac{12\cdot11\cdot10}{3\cdot2\cdot1}=\frac{12\cdot11\cdot10}{6}=\frac{1320}{6}=220.
  • Número de formas de escolher 2 homens: \displaystyle \binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2\cdot1}=\frac{90}{2}=45.
  • Pelo princípio multiplicativo, total nesse caso:
220\cdot45=220\cdot(40+5)=8800+1100=9900.

Passo 5

Caso 2: exatamente 4 mulheres e 1 homem.
  • \displaystyle \binom{12}{4}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{4\cdot3\cdot2\cdot1}. Calculemos:
12\cdot11\cdot10\cdot9=11880,\qquad 4\cdot3\cdot2\cdot1=24,
\binom{12}{4}=\frac{11880}{24}=495.
  • \displaystyle \binom{10}{1}=10.
  • Total nesse caso:
495\cdot10=4950.

Passo 6

Caso 3: exatamente 5 mulheres e 0 homens.
  • \displaystyle \binom{12}{5}=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}. Calculemos:
12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8=95040,\qquad 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120,
\binom{12}{5}=\frac{95040}{120}=792.
  • \displaystyle \binom{10}{0}=1.
  • Total nesse caso:
792\cdot1=792.

Passo 7

Somando os três casos (mutuamente exclusivos) obtemos o total de comissões com pelo menos 3 mulheres:
9900+4950+792=14850+792=15642.

Passo 8

Checagem alternativa rápida (opcional, para confiar no resultado): poderia contar todas as comissões de 5 pessoas e subtrair as comissões com 0,1 ou 2 mulheres; esse procedimento dá o mesmo resultado (pode ser verificado se houver dúvida), mas a soma direta por casos foi clara e direta.

Resposta

15642

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