Questão 72 (MA12-AV2-PROFMAT-2014). De um grupo de 12 mulheres, sendo Paula uma delas, e de 10 homens, sendo Felipe um deles, quantas comissões podem ser formadas com:
5 pessoas, sendo pelo menos 3 mulheres?
5 pessoas, sendo pelo menos 3 mulheres?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
mulheres (Paula é uma delas). - Há
homens (Felipe é um deles). - Quer-se formar comissões de
pessoas com a restrição “pelo menos mulheres”.
O que o problema pede: calcular quantas comissões de
pessoas é possível formar satisfazendo a condição “pelo menos
mulheres”.
Passo 2
Ideia de resolução (sem calcular ainda): “Pelo menos
mulheres” significa que a comissão pode ter exatamente
, exatamente
ou exatamente
mulheres. Vou contar quantas comissões ocorrem em cada um desses casos e somar os resultados. Isso porque esses casos são mutuamente exclusivos e cobrem todas as possibilidades pedidas.
Passo 3
Breve aula sobre combinações (o que vou usar para contar):
- Quando eu quero escolher
pessoas de um grupo de pessoas, sem ordem (ou seja, a ordem na comissão não importa), o número de maneiras é dado pelo coeficiente binomial
onde
(fatorial) significa
.
- Interpretação prática:
é o número de formas de escolher mulheres dentre ; é o número de formas de escolher homens dentre . Se quero mulheres e homens ao mesmo tempo, multiplico por (princípio multiplicativo).
Passo 4
Caso 1: exatamente
mulheres e
homens.
- Número de formas de escolher
mulheres: .
Calculemos passo a passo:
- Número de formas de escolher
homens: - Pelo princípio multiplicativo, total nesse caso:
Passo 5
Caso 2: exatamente
mulheres e
homem.
-
Calculemos:
-
- Total nesse caso:
Passo 6
Caso 3: exatamente
mulheres e
homens.
-
Calculemos:
-
- Total nesse caso:
Passo 7
Somando os três casos (mutuamente exclusivos) obtemos o total de comissões com pelo menos
mulheres:
Passo 8
Checagem alternativa rápida (opcional, para confiar no resultado): poderia contar todas as comissões de
pessoas e subtrair as comissões com
ou
mulheres; esse procedimento dá o mesmo resultado (pode ser verificado se houver dúvida), mas a soma direta por casos foi clara e direta.