Questão 79(\mathrm{POTI}). Cada peça de um dominó apresenta um par de números de 0 a 6 , não necessariamente distintos. Quantas são essas peças? E se os números forem de 0 a 8 ?

Passo 1

O enunciado dá duas situações parecidas e pede a contagem de peças de dominó em cada uma:
  • Cada peça é formada por um par de números entre 0 e 6, inclusive, não necessariamente distintos. A pergunta: quantas peças existem nesse conjunto?
  • Depois a mesma pergunta quando os números vão de 0 a 8, inclusive.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • No primeiro caso há 7 números possíveis: 0,1,2,3,4,5,6.
  • No segundo caso há 9 números possíveis: 0,1,\dots,8.
  • Uma peça corresponde a um par de números em que a ordem não importa (ou seja, a peça (a,b) é a mesma que (b,a)), e são permitidos pares com números iguais (os “duplos”).

Passo 2

Para modelar o problema: representar cada peça por um par (a,b) com a e b pertencendo ao conjunto de números disponíveis, mas com a identificação (a,b)=(b,a). Uma maneira simples de contar essas peças é contar todos os pares com a\le b (pares em ordem não decrescente). Assim cada peça é contada exatamente uma vez.
Explicando a ideia com calma: se eu fixo dois números distintos a e b eu não quero contar duas peças (a,b) e (b,a) separadamente — quero apenas uma. Se eu exigir a\le b, isso elimina a duplicação. Também preciso incluir os casos em que a=b (os duplos).

Passo 3

Contagem para os números 0 a 6 (ou seja, 7 valores possíveis).
Dividimos em duas categorias:
  1. Pares com números distintos (isto é, a<b). Para cada escolha de dois números distintos dentre os 7 disponíveis, há exatamente uma peça. O número de escolhas de 2 elementos distintos entre 7 é a combinação
\binom{7}{2}.
Calculemos:
\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2}=21.
  1. Pares com números iguais (os duplos), isto é, (0,0),(1,1),\dots,(6,6). Há exatamente 7 desses.
Somando as duas categorias, o total de peças é
21+7=28.

Passo 4

Uma forma alternativa (mais direta e geral) usando combinações com repetição: o número de maneiras de escolher 2 elementos de um conjunto de n tipos quando a ordem não importa e a repetição é permitida é
\binom{n+2-1}{2}=\binom{n+1}{2}.
Aqui n é o número de valores distintos disponíveis e o 2 é o tamanho do par que escolhemos. No primeiro caso n=7, então
\binom{7+1}{2}=\binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2}=28,
coincidindo com o cálculo anterior. (Intuição rápida: pensar em escolher duas “peças” com repetição é equivalente a escolher duas bolas em uma urna com reposição, mas sem distinguir ordem — a fórm. acima resume isso.)

Passo 5

Agora aplicamos o mesmo raciocínio ao caso dos números 0 a 8 (ou seja, 9 valores possíveis).
Usando a separação em distintos + duplos:
  • Pares distintos: \displaystyle \binom{9}{2}=\frac{9\cdot8}{2}=36.
  • Duplos: 9.
Total:
36+9=45.
Usando a fórmula de combinações com repetição com n=9:
\binom{9+1}{2}=\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45.

Passo 6

Fórmula geral e checagem rápida: se os números vão de 0 a m (há n=m+1 valores), o número de peças é
\binom{n+1}{2}=\frac{(n+1)n}{2}=\frac{(m+2)(m+1)}{2}.
Verificação rápida: para m=6 isso dá \dfrac{8\cdot7}{2}=28; para m=8 \dfrac{10\cdot9}{2}=45.

Resposta

28
45

Exercícios relacionados