Questão
. Cada peça de um dominó apresenta um par de números de 0 a 6 , não necessariamente distintos. Quantas são essas peças? E se os números forem de 0 a 8 ?
Passo 1
O enunciado dá duas situações parecidas e pede a contagem de peças de dominó em cada uma:
- Cada peça é formada por um par de números entre 0 e 6, inclusive, não necessariamente distintos. A pergunta: quantas peças existem nesse conjunto?
- Depois a mesma pergunta quando os números vão de 0 a 8, inclusive.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- No primeiro caso há
números possíveis: . - No segundo caso há
números possíveis: . - Uma peça corresponde a um par de números em que a ordem não importa (ou seja, a peça
é a mesma que ), e são permitidos pares com números iguais (os “duplos”).
Passo 2
Para modelar o problema: representar cada peça por um par
com
e
pertencendo ao conjunto de números disponíveis, mas com a identificação
. Uma maneira simples de contar essas peças é contar todos os pares com
(pares em ordem não decrescente). Assim cada peça é contada exatamente uma vez.
Explicando a ideia com calma: se eu fixo dois números distintos
e
eu não quero contar duas peças
e
separadamente — quero apenas uma. Se eu exigir
, isso elimina a duplicação. Também preciso incluir os casos em que
(os duplos).
Passo 3
Contagem para os números
a
(ou seja,
valores possíveis).
Dividimos em duas categorias:
- Pares com números distintos (isto é,
). Para cada escolha de dois números distintos dentre os disponíveis, há exatamente uma peça. O número de escolhas de elementos distintos entre é a combinação
Calculemos:
- Pares com números iguais (os duplos), isto é,
. Há exatamente desses.
Somando as duas categorias, o total de peças é
Passo 4
Uma forma alternativa (mais direta e geral) usando combinações com repetição: o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto de
tipos quando a ordem não importa e a repetição é permitida é
Aqui
é o número de valores distintos disponíveis e o
é o tamanho do par que escolhemos. No primeiro caso
, então
coincidindo com o cálculo anterior. (Intuição rápida: pensar em escolher duas “peças” com repetição é equivalente a escolher duas bolas em uma urna com reposição, mas sem distinguir ordem — a fórm. acima resume isso.)
Passo 5
Agora aplicamos o mesmo raciocínio ao caso dos números
a
(ou seja,
valores possíveis).
Usando a separação em distintos + duplos:
- Pares distintos:
. - Duplos:
.
Total:
Usando a fórmula de combinações com repetição com
:
Passo 6
Fórmula geral e checagem rápida: se os números vão de
a
(há
valores), o número de peças é
Verificação rápida: para
isso dá
; para
dá
.