Questão 78 (ENA-PROFMAT-2016). De quantas maneiras distintas podemos colocar, em cada espaço abaixo, os algarismos 2,3,4,7,8,9, de modo que todos os seis algarismos apareçam e formem, em cada membro, números de dois algarismos que satisfaçam as duas desigualdades?
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Passo 1

O enunciado pede: contar de quantas maneiras distintas podemos preencher os seis traços
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com os algarismos 2,3,4,7,8,9 de forma que:
  • todos os seis algarismos apareçam (cada um exatamente uma vez);
  • cada par de traços forma um número de dois algarismos (por exemplo, ab com a na dezena e b na unidade);
  • as desigualdades sejam satisfeitas, isto é, o primeiro número de dois algarismos é menor que o segundo, que por sua vez é menor que o terceiro:
\text{primeiro} < \text{segundo} < \text{terceiro}.
Informações relevantes dadas:
  • Conjunto de dígitos disponíveis: \{2,3,4,7,8,9\}.
  • Precisamos formar três números de dois algarismos usando todos os dígitos sem repetição.
  • Os três números devem aparecer em ordem estritamente crescente da esquerda para a direita.

Passo 2

Primeira observação chave (explicação didática): quando comparamos dois números de dois algarismos, o dígito das dezenas determina a ordem, desde que as dezenas sejam diferentes.
Formalizando: escreva dois números de dois algarismos como 10a+b e 10c+d, onde a,b,c,d são dígitos de 0 a 9 (aqui todos são de 2,3,4,7,8,9). Se a<c então
10a+b \le 10a+9 < 10(a+1) \le 10c \le 10c+d,
portanto 10a+b < 10c+d. Em palavras: se o dígito das dezenas é menor, o número inteiro é necessariamente menor, independentemente dos dígitos das unidades. Como aqui todas as dezenas serão dígitos distintos (usamos cada algarismo uma vez), a ordem dos três números é decidida apenas pelas dezenas em ordem crescente.
Essa observação simplifica muito o problema: basta escolher quais três dos seis dígitos vão ocupar as posições das dezenas; essas três dezenas, ordenadas em ordem crescente, determinam qual é o primeiro, o segundo e o terceiro número. Depois, a escolha dos dígitos das unidades é livre entre os três dígitos restantes, em qualquer permutação, pois a ordem entre os números já está garantida pelas dezenas.

Passo 3

Contar as possibilidades para as dezenas.
Como temos 6 dígitos e precisamos escolher 3 para serem as dezenas, o número de maneiras de escolher o conjunto das dezenas é dado pelo coeficiente binomial
\binom{6}{3},
que conta de quantas formas escolher 3 elementos entre 6 sem considerar ordem. Explicando: aqui não permutamos as dezenas entre si porque, para a condição de crescimento, elas ficam automaticamente na ordem crescente (a menor será a dezena do primeiro número, a segunda menor a do segundo, etc.). Calculando:
\binom{6}{3}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20.
Portanto existem 20 escolhas distintas do conjunto das dezenas (cada escolha dá três dezenas que, quando ordenadas, fixam as posições das dezenas nos três números).

Passo 4

Contar as possibilidades para as unidades, dadas as dezenas escolhidas.
Depois de escolher as três dezenas (conjunto de 3 dígitos), restam exatamente 3 dígitos disponíveis para as unidades. Esses três dígitos restantes podem ser atribuídos às três posições de unidade de forma arbitrária, ou seja, qualquer permutação dos três dígitos restantes é permitida. O número de permutações de 3 objetos é
3! = 3\cdot2\cdot1 = 6.
Explicando o conceito: 3! significa “3 fatorial”, que conta todas as ordens possíveis de colocar 3 elementos distintos em 3 vagas.

Passo 5

Combinar escolhas de dezenas e permutações das unidades.
As decisões “qual conjunto de 3 dígitos será usado nas dezenas” e “como permutar os 3 dígitos restantes nas unidades” são independentes, então multiplicamos o número de possibilidades:
\text{total}=\binom{6}{3}\cdot 3! = 20\cdot 6 = 120.
Para fixar a intuição, um exemplo concreto: se escolhemos as dezenas \{2,4,9\} (uma das \binom{6}{3} escolhas), elas ficam nas posições das dezenas em ordem 2,4,9. As unidades seriam os dígitos restantes \{3,7,8\}, que podem ser arranjados em 6 maneiras diferentes, cada uma delas gerando uma sequência de três números estritamente crescente. Não há risco de inverter a ordem porque as dezenas são distintas e estão em ordem crescente.

Resposta

120

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