Questão 81: Oscilador harmônico amotecido

Um oscilador harmônico amortecido satisfaz a seguinte equação de movimento, onde o coeficiente de atrito é muito menor do que a frequência intrínseca. Considere \omega=1, \gamma=0.01, amplitude inicial A=1, e encontre o tempo necessário para a amplitude da oscilação diminuir pela metade.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador harmônico amortecido, cuja equação de movimento é
\ddot x + 2\gamma\,\dot x + \omega^2 x = 0,
no regime subamortecido \gamma \ll \omega. Nos dão \omega=1, \gamma=0.01 e amplitude inicial A=1. Precisamos achar o tempo necessário para a amplitude da oscilação cair para metade do valor inicial.

Passo 2

Em regime subamortecido, a solução geral pode ser escrita como
x(t) = A\,e^{-\gamma t}\cos(\Omega_d t + \varphi),
onde \Omega_d = \sqrt{\omega^2 - \gamma^2}\approx \omega para \gamma\ll\omega. O fator e^{-\gamma t} descreve a envoltória exponencial da amplitude.

Passo 3

A envoltória da amplitude é
A(t) = A\,e^{-\gamma t}.
Como A=1, temos A(t)=e^{-\gamma t}.

Passo 4

Queremos A(t_{1/2}) = \tfrac12 A, isto é
e^{-\gamma t_{1/2}} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad -\gamma t_{1/2} = \ln\!\bigl(\tfrac12\bigr) \quad\Longrightarrow\quad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\gamma}.
Substituindo \gamma=0.01:
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{0.01} \approx \frac{0.693}{0.01} =69.3.

Resposta

O tempo necessário para a amplitude diminuir pela metade é aproximadamente 69{,}3 segundos.

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