Questão 73: Teoria Cinética dos Gases Ideais

Deduza e utilize a expressão para o gás ideal:
P=\frac{2}{3} \overline{E_{T}} \frac{N}{V},
onde
\overline{E_{T}}=\overline{\frac{1}{2} m v^{2}}=\frac{1}{2} m \overline{v^{2}},
e, considerando que m é a massa da partícula, use o resultado da distribuição de Maxwell:
\left\langle v^{2}\right\rangle=\frac{3 k T}{m},
onde T é a temperatura e k=\frac{R}{N_{A}} é a constante de Boltzmann, sendo N_{A} a constante de Avogadro. A partir destes resultados, encontre a equação de estado para o gás ideal:
P V=n R T .
Dica: Note que a equação de estado é encontrada a partir de uma abordagem puramente microscópica.

Passo 1

O enunciado nos dá, a partir da Teoria Cinética dos Gases Ideais, a expressão microscópica da pressão
P = \frac{2}{3}\,\overline{E_{T}}\;\frac{N}{V},
onde \overline{E_{T}}=\overline{\tfrac12 m v^2}=\tfrac12\,m\,\overline{v^2}, e sabemos pela distribuição de Maxwell que \langle v^2\rangle = \tfrac{3\,k\,T}{m}.
Queremos usar essas relações para chegar à equação de estado macroscópica
P\,V = n\,R\,T.

Passo 2

Substituímos em P a expressão de \overline{E_{T}}:
P = \frac{2}{3}\,\Bigl(\tfrac12\,m\,\overline{v^2}\Bigr)\;\frac{N}{V} = \frac{1}{3}\,m\,\overline{v^2}\;\frac{N}{V}\,.

Passo 3

Agora aplicamos o resultado da distribuição de Maxwell \overline{v^2} = \tfrac{3\,k\,T}{m}:
P = \frac{1}{3}\,m\,\bigl(\tfrac{3\,k\,T}{m}\bigr)\;\frac{N}{V} = k\,T\;\frac{N}{V}\,.
Multiplicando ambos os lados por V
P\,V = N\,k\,T\,.

Passo 4

Para expressar em termos de mols, note que n = \tfrac{N}{N_{A}} e k = \tfrac{R}{N_{A}}. Logo
N\,k = \bigl(n\,N_{A}\bigr)\,\frac{R}{N_{A}} = n\,R.
Substituindo em P\,V = N\,k\,T obtemos a forma macroscópica desejada.

Resposta

P\,V = n\,R\,T

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