Questão 82. Quantas são as permutações dos elementos do conjunto (
) nos quais apenas três deles ocupa a sua posição original?
Passo 1
O enunciado dá o conjunto com os números de
a
:
e pede: quantas permutações desses
elementos existem em que exatamente três deles ocupam a sua posição original (isto é, exatamente três pontos fixos).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Há
elementos no total. - Queremos permutações (reordenações) desses
elementos. - A condição é: exatamente
elementos ficam em suas posições originais; os outros não podem ficar em suas posições originais.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): para construir uma permutação com exatamente
elementos fixos faço dois passos distintos e independentes:
- Escolher quais são os
elementos que vão ficar na posição correta. - Permutar os
elementos restantes de maneira que nenhum deles fique em sua posição original (ou seja, uma permutação sem pontos fixos — chamada derangement).
O número total será o produto do número de jeitos de fazer o passo 1 pelo número de jeitos de fazer o passo 2, porque para cada escolha de quais
ficam fixos, posso escolher qualquer derangement dos outros
.
Passo 3
Contagem do passo 1 — escolher os
elementos que ficam fixos:
O número de maneiras de escolher itens entre
sem ordem é dado pelo coeficiente binomial
O número de maneiras de escolher
Calculemos explicitamente:
Portanto há
escolhas diferentes de quais
elementos ficarão em sua posição original.
Passo 4
Explicação didática sobre derangements (permutação sem pontos fixos):
- Um derangement de
elementos é uma permutação em que nenhum elemento permanece em sua posição original. - Denotamos o número de derangements de
por ou . - Uma forma rigorosa de contar
é usar o Princípio da Inclusão-Exclusão: começar com todas as permutações ( ) e subtrair aquelas que têm pelo menos um ponto fixo, ajustando com soma e subtração alternadas.
A fórmula por inclusão-exclusão é
Outra forma equivalente (mais compacta) é
que vem diretamente da expansão do anterior. Ambas as fórmulas são corretas; uso a primeira (inclusão-exclusão) porque permite ver os termos um a um e calcular sem memorizar valores prontos.
Passo 5
Aplicando inclusão-exclusão para
(os
elementos que não foram fixados devem formar um derangement):
Escrevemos
Escrevemos
Agora calculamos cada termo passo a passo:
Agora aplicamos os sinais alternados:
Somando na ordem:
Portanto
(Comentário amigo: esse número
é o número de formas de permutar 6 objetos de modo que nenhum fique no lugar — vale a pena decorar alguns
pequenos:
,
,
,
,
,
.)
Passo 6
Agora juntamos os dois passos: para cada escolha das
posições fixas (
escolhas), existem
derangements dos outros
. Pelo princípio fundamental da contagem, multiplicamos:
Vamos multiplicar de modo claro:
Logo o número total de permutações com exatamente
elementos na posição original é
.