Questão 82. Quantas são as permutações dos elementos do conjunto ( 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ) nos quais apenas três deles ocupa a sua posição original?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto com os números de 1 a 9:
\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\},
e pede: quantas permutações desses 9 elementos existem em que exatamente três deles ocupam a sua posição original (isto é, exatamente três pontos fixos).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • 9 elementos no total.
  • Queremos permutações (reordenações) desses 9 elementos.
  • A condição é: exatamente 3 elementos ficam em suas posições originais; os outros 6 não podem ficar em suas posições originais.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): para construir uma permutação com exatamente 3 elementos fixos faço dois passos distintos e independentes:
  1. Escolher quais são os 3 elementos que vão ficar na posição correta.
  2. Permutar os 6 elementos restantes de maneira que nenhum deles fique em sua posição original (ou seja, uma permutação sem pontos fixos — chamada derangement).
O número total será o produto do número de jeitos de fazer o passo 1 pelo número de jeitos de fazer o passo 2, porque para cada escolha de quais 3 ficam fixos, posso escolher qualquer derangement dos outros 6.

Passo 3

Contagem do passo 1 — escolher os 3 elementos que ficam fixos:
O número de maneiras de escolher 3 itens entre 9 sem ordem é dado pelo coeficiente binomial
\binom{9}{3}.
Calculemos explicitamente:
\binom{9}{3}=\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}=\frac{504}{6}=84.
Portanto há 84 escolhas diferentes de quais 3 elementos ficarão em sua posição original.

Passo 4

Explicação didática sobre derangements (permutação sem pontos fixos):
  • Um derangement de n elementos é uma permutação em que nenhum elemento permanece em sua posição original.
  • Denotamos o número de derangements de n por !n ou D_n.
  • Uma forma rigorosa de contar D_n é usar o Princípio da Inclusão-Exclusão: começar com todas as permutações ( n!) e subtrair aquelas que têm pelo menos um ponto fixo, ajustando com soma e subtração alternadas.
    A fórmula por inclusão-exclusão é
D_n = n! - \binom{n}{1}(n-1)! + \binom{n}{2}(n-2)! - \binom{n}{3}(n-3)! + \cdots + (-1)^n\binom{n}{n}0!.
Outra forma equivalente (mais compacta) é
D_n = n!\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!},
que vem diretamente da expansão do anterior. Ambas as fórmulas são corretas; uso a primeira (inclusão-exclusão) porque permite ver os termos um a um e calcular sem memorizar valores prontos.

Passo 5

Aplicando inclusão-exclusão para n=6 (os 6 elementos que não foram fixados devem formar um derangement):
Escrevemos
D_6 = 6! - \binom{6}{1}5! + \binom{6}{2}4! - \binom{6}{3}3! + \binom{6}{4}2! - \binom{6}{5}1! + \binom{6}{6}0!.
Agora calculamos cada termo passo a passo:
  • 6! = 720.
  • \binom{6}{1}5! = 6\cdot120 = 720.
  • \binom{6}{2}4! = 15\cdot24 = 360.
  • \binom{6}{3}3! = 20\cdot6 = 120.
  • \binom{6}{4}2! = 15\cdot2 = 30.
  • \binom{6}{5}1! = 6\cdot1 = 6.
  • \binom{6}{6}0! = 1\cdot1 = 1.
Agora aplicamos os sinais alternados:
D_6 = 720 - 720 + 360 - 120 + 30 - 6 + 1.
Somando na ordem:
720 - 720 = 0,
0 + 360 = 360,
360 - 120 = 240,
240 + 30 = 270,
270 - 6 = 264,
264 + 1 = 265.
Portanto
D_6 = 265.
(Comentário amigo: esse número 265 é o número de formas de permutar 6 objetos de modo que nenhum fique no lugar — vale a pena decorar alguns D_n pequenos: D_1=0, D_2=1, D_3=2, D_4=9, D_5=44, D_6=265.)

Passo 6

Agora juntamos os dois passos: para cada escolha das 3 posições fixas ( 84 escolhas), existem 265 derangements dos outros 6. Pelo princípio fundamental da contagem, multiplicamos:
\text{total} = \binom{9}{3}\cdot D_6 = 84\cdot 265.
Vamos multiplicar de modo claro:
80\cdot265 = 80\cdot(200+60+5)=16000+4800+400=21200,
4\cdot265 = 1060,
21200+1060 = 22260.
Logo o número total de permutações com exatamente 3 elementos na posição original é 22260.

Resposta

22260

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