Questão 85. Um conjunto A tem 512 subconjuntos. Quantos são os elementos do conjunto A?

Passo 1

O enunciado dá que o conjunto A tem 512 subconjuntos. A pergunta é: quantos elementos tem o conjunto A?
Informações relevantes:
  • Número de subconjuntos de A é 512.

Passo 2

Conceito fundamental (explicação didática): se um conjunto finito tem n elementos, cada elemento tem duas possibilidades ao formar um subconjunto: ou ele entra no subconjunto, ou não entra. Essas escolhas são independentes para cada elemento. Logo, o número total de subconjuntos é o produto das escolhas para cada elemento, isto é 2\cdot2\cdot\ldots ( n vezes), o que é 2^n.
Exemplos simples para fixar a ideia:
  • Se n=0 (conjunto vazio), há 2^0=1 subconjunto (só o conjunto vazio).
  • Se n=1, há 2^1=2 subconjuntos.
  • Se n=2, há 2^2=4 subconjuntos.
  • Se n=3, há 2^3=8 subconjuntos.
Isso mostra a regra geral: número de subconjuntos = 2^n.

Passo 3

Aplicando ao problema: seja n o número de elementos de A. Pelo argumento acima vale
2^{n}=512.

Passo 4

Resolver \,2^{n}=512\,. Reconhecemos 512 como uma potência de 2. Podemos achar a potência observando potências menores e dobrando:
2^{1}=2,\;2^{2}=4,\;2^{3}=8,\;2^{4}=16,\;2^{5}=32.
A partir de \,2^{5}=32\, podemos obter \,2^{9}=2^{5}\cdot 2^{4}=32\cdot 16=512\,. Logo \,2^{9}=512\,.

Passo 5

Como \,2^{n}=512 e \,2^{9}=512, concluímos que n=9. Força aí, você já tem o raciocínio geral para qualquer questão desse tipo!

Resposta

9

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