Questão 85. Um conjunto A tem 512 subconjuntos. Quantos são os elementos do conjunto A?
Passo 1
O enunciado dá que o conjunto
tem
subconjuntos. A pergunta é: quantos elementos tem o conjunto
?
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Número de subconjuntos de
é .
Passo 2
Conceito fundamental (explicação didática): se um conjunto finito tem
elementos, cada elemento tem duas possibilidades ao formar um subconjunto: ou ele entra no subconjunto, ou não entra. Essas escolhas são independentes para cada elemento. Logo, o número total de subconjuntos é o produto das escolhas para cada elemento, isto é
(
vezes), o que é
.
Exemplos simples para fixar a ideia:
- Se
(conjunto vazio), há subconjunto (só o conjunto vazio). - Se
, há subconjuntos. - Se
, há subconjuntos. - Se
, há subconjuntos.
Isso mostra a regra geral: número de subconjuntos =
.
Passo 3
Aplicando ao problema: seja
o número de elementos de
. Pelo argumento acima vale
Passo 4
Resolver
. Reconhecemos
como uma potência de
. Podemos achar a potência observando potências menores e dobrando:
A partir de
podemos obter
Logo
.
Passo 5
Como
e
, concluímos que
. Força aí, você já tem o raciocínio geral para qualquer questão desse tipo!