Questão 87. Quantos coquetéis(misturas de duas ou mais bebidas) podem ser feitos a partir de 7 ingredientes distintos?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
- Há
ingredientes distintos disponíveis. - Um “coquetel” é uma mistura de duas ou mais bebidas (ou seja, selecionar pelo menos
ingredientes). - Pergunta: quantos coquetéis diferentes podem ser feitos, supondo que a ordem dos ingredientes não importa e não se repetem ingredientes?
Passo 2
Ideia básica (explicação didática): qualquer seleção de ingredientes corresponde a um subconjunto do conjunto de
ingredientes. O número total de subconjuntos de um conjunto com
elementos é
. Aqui, com
, o total de subconjuntos é
Motivação simples para
: para cada ingrediente há duas opções (estar na mistura ou não estar). Pelo princípio multiplicativo, o total de escolhas é
.
Passo 3
Agora eliminamos as seleções que não são coquetéis válidos:
- O subconjunto vazio (nenhum ingrediente) não é válido — há
desse tipo. - Os subconjuntos com exatamente
ingrediente (as singletons) também não são válidos — há exatamente desses.
Portanto o número de seleções com pelo menosingredientes é
Calculando:
Passo 4
(Método alternativo — útil pra prova) Usando coeficientes binomiais: o número de formas de escolher exatamente
ingredientes entre
é
onde
(fatorial) significa
. Queremos somar para
:
Calculando termos (mostrando contas acessíveis):
Somando:
Esse resultado coincide com o método anterior (boa checagem!).
Passo 5
Resumo prático para a prova: quando pedirem "quantas seleções com pelo menos
" em um conjunto de
, a técnica rápida é
(subtrai o vazio e as
singletons). Aqui isso dá
. Força aí — você consegue!
Resposta
120