Questão 87. Quantos coquetéis(misturas de duas ou mais bebidas) podem ser feitos a partir de 7 ingredientes distintos?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
  • 7 ingredientes distintos disponíveis.
  • Um “coquetel” é uma mistura de duas ou mais bebidas (ou seja, selecionar pelo menos 2 ingredientes).
  • Pergunta: quantos coquetéis diferentes podem ser feitos, supondo que a ordem dos ingredientes não importa e não se repetem ingredientes?

Passo 2

Ideia básica (explicação didática): qualquer seleção de ingredientes corresponde a um subconjunto do conjunto de 7 ingredientes. O número total de subconjuntos de um conjunto com n elementos é 2^n. Aqui, com n=7, o total de subconjuntos é
2^{7}.
Motivação simples para 2^{n}: para cada ingrediente há duas opções (estar na mistura ou não estar). Pelo princípio multiplicativo, o total de escolhas é 2\cdot2\cdot\ldots\cdot2=2^{7}.

Passo 3

Agora eliminamos as seleções que não são coquetéis válidos:
  • O subconjunto vazio (nenhum ingrediente) não é válido — há 1 desse tipo.
  • Os subconjuntos com exatamente 1 ingrediente (as singletons) também não são válidos — há exatamente 7 desses.
    Portanto o número de seleções com pelo menos 2 ingredientes é
2^{7} - \bigl(1 + 7\bigr).
Calculando:
2^{7}=128, \qquad 1+7=8, \qquad 128-8=120.

Passo 4

(Método alternativo — útil pra prova) Usando coeficientes binomiais: o número de formas de escolher exatamente k ingredientes entre 7 é
\binom{7}{k}=\frac{7!}{k!(7-k)!},
onde m! (fatorial) significa m!=m\cdot(m-1)\cdot\ldots\cdot1. Queremos somar para k=2,3,\dots,7:
\sum_{k=2}^{7}\binom{7}{k}.
Calculando termos (mostrando contas acessíveis):
\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2\cdot1}=21, \qquad \binom{7}{3}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35,
\binom{7}{4}=35,\qquad \binom{7}{5}=21,\qquad \binom{7}{6}=7,\qquad \binom{7}{7}=1.
Somando:
21+35+35+21+7+1 = 120.
Esse resultado coincide com o método anterior (boa checagem!).

Passo 5

Resumo prático para a prova: quando pedirem "quantas seleções com pelo menos 2" em um conjunto de n, a técnica rápida é 2^{n} - 1 - n (subtrai o vazio e as n singletons). Aqui isso dá 2^{7}-1-7=120. Força aí — você consegue!

Resposta

120

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