Questão 91. Deduza uma fórmula para cada uma das expressões abaixo e calcule o valor da soma dos 50 primeiros termos.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado:
-
O enunciado pede duas coisas:
- Deduzir uma fórmula geral para a soma
. - Calcular o valor da soma dos primeiros 50 termos, isto é
.
- Deduzir uma fórmula geral para a soma
-
Informação dada: a sequência é a soma dos cubos dos inteiros positivos de
até .
Agora começamos a resolver.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar e deduzir duas somas auxiliares que serão úteis: a soma dos primeiros
inteiros e a soma dos quadrados dos primeiros
inteiros. Essas fórmulas são padrão e vamos explicar como obtê-las de modo direto (para você poder usar na prova sem decorar mecanicamente).
- Soma dos primeiros
inteiros. A soma
pode ser obtida emparelhando termos:
,
,
. Há
termos e cada par soma
. Se
é par, há
pares; se
é ímpar, o termo do meio é
e a conta dá o mesmo resultado. Assim a fórmula é
Explicando as variáveis:
é o número de termos; o numerador
vem da multiplicação do número de termos pelo valor médio
.
Passo 3
- Soma dos quadrados dos primeiros
inteiros. Queremos
Uma forma direta de obter a fórmula é por indução. Vou esquentar a mão com isso porque vamos usá-la depois.
Base
:
. A fórmula candidata é
e para
dá
, ok.
Passo indutivo: suponha que para um
qualquer valha
Então, somando o próximo termo
, obtemos
Colocando o lado direito em evidência de
:
Colocando sobre o mesmo denominador:
Note que
, então
que é exatamente a fórmula com
substituído por
. Assim a fórmula é válida por indução:
Passo 4
Agora vamos deduzir uma fórmula para
Uma técnica elegante é usar a diferença de potências que telescopa. Considere a diferença
Expandindo (binomial) temos
Se somarmos essa relação para
até
, o lado esquerdo telescopa:
No lado direito somamos termo a termo:
Agora substituímos as fórmulas que já conhecemos:
Assim a igualdade telescópica fica
Simplificando os termos conhecidos:
Agrupando os dois últimos termos com fator comum
e
quando possível:
Também podemos juntar o
como
; mas é mais direto continuar pela forma anterior. Agora isolamos
:
É trabalho de álgebra simplificar o lado direito; faremos passo a passo (sem pular etapas):
Calculemos
. Expansão:
Agora subtrair os outros termos:
Somando essas duas últimas:
Logo o lado direito total é
Portanto
Dividindo por
,
Esta expressão pode ser reescrita de forma mais bonita, reconhecendo que
é a soma dos primeiros
inteiros:
Interpretação prática: a soma dos cubos dos primeiros
inteiros é o quadrado da soma dos primeiros
inteiros. Isso é um resultado clássico e muito útil na prova.
Passo 5
Um comentário pedagógico curto (útil para a prova): outra maneira de ver isso é usar indução direta na afirmação
A base
funciona. Suponha válido para
, então ao passar para
obtém-se
e do outro lado
Usando
e fazendo as contas, verifica-se que os dois lados coincidem, completando a indução. Essa via pode ser mais direta na prova, se preferir.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula para calcular
. Pela fórmula deduzida:
Substituindo
:
Então
Calculando
(feito passo a passo ou com multiplicação):