Questão 91. Deduza uma fórmula para cada uma das expressões abaixo e calcule o valor da soma dos 50 primeiros termos.
S_{n}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado:
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Deduzir uma fórmula geral para a soma S_{n}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+ n^{3}.
    2. Calcular o valor da soma dos primeiros 50 termos, isto é S_{50}.
  • Informação dada: a sequência é a soma dos cubos dos inteiros positivos de 1 até n.
Agora começamos a resolver.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar e deduzir duas somas auxiliares que serão úteis: a soma dos primeiros n inteiros e a soma dos quadrados dos primeiros n inteiros. Essas fórmulas são padrão e vamos explicar como obtê-las de modo direto (para você poder usar na prova sem decorar mecanicamente).
  • Soma dos primeiros n inteiros. A soma
\sum_{k=1}^{n} k
pode ser obtida emparelhando termos: 1+n, 2+(n-1), \ldots. Há n termos e cada par soma n+1. Se n é par, há n/2 pares; se n é ímpar, o termo do meio é (n+1)/2 e a conta dá o mesmo resultado. Assim a fórmula é
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}.
Explicando as variáveis: n é o número de termos; o numerador n(n+1) vem da multiplicação do número de termos pelo valor médio (n+1)/2.

Passo 3

  • Soma dos quadrados dos primeiros n inteiros. Queremos
\sum_{k=1}^{n} k^{2}.
Uma forma direta de obter a fórmula é por indução. Vou esquentar a mão com isso porque vamos usá-la depois.
Base n=1: \sum_{k=1}^{1} k^2 = 1. A fórmula candidata é
\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},
e para n=1 \dfrac{1\cdot2\cdot3}{6}=1, ok.
Passo indutivo: suponha que para um n qualquer valha
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Então, somando o próximo termo (n+1)^2, obtemos
\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2.
Colocando o lado direito em evidência de (n+1):
\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = (n+1)\left(\frac{n(2n+1)}{6} + (n+1)\right).
Colocando sobre o mesmo denominador:
= (n+1)\frac{2n^2+n+6n+6}{6} = (n+1)\frac{2n^2+7n+6}{6}.
Note que 2n^2+7n+6=(n+2)(2n+3), então
\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6},
que é exatamente a fórmula com n substituído por n+1. Assim a fórmula é válida por indução:
\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Passo 4

Agora vamos deduzir uma fórmula para
S_{n}=\sum_{k=1}^{n} k^{3}.
Uma técnica elegante é usar a diferença de potências que telescopa. Considere a diferença
(k+1)^{4} - k^{4}.
Expandindo (binomial) temos
(k+1)^{4} - k^{4} = 4k^{3} + 6k^{2} + 4k + 1.
Se somarmos essa relação para k=1 até k=n, o lado esquerdo telescopa:
\sum_{k=1}^{n} \big((k+1)^{4} - k^{4}\big) = (n+1)^{4} - 1^{4} = (n+1)^{4}-1.
No lado direito somamos termo a termo:
\sum_{k=1}^{n} \big(4k^{3} + 6k^{2} + 4k + 1\big) = 4\sum_{k=1}^{n} k^{3} + 6\sum_{k=1}^{n} k^{2} + 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1.
Agora substituímos as fórmulas que já conhecemos:
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \qquad \sum_{k=1}^{n} 1 = n.
Assim a igualdade telescópica fica
(n+1)^{4}-1 = 4\sum_{k=1}^{n} k^{3} + 6\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 4\cdot\frac{n(n+1)}{2} + n.
Simplificando os termos conhecidos:
(n+1)^{4}-1 = 4\sum_{k=1}^{n} k^{3} + n(n+1)(2n+1) + 2n(n+1) + n.
Agrupando os dois últimos termos com fator comum n e n+1 quando possível:
n(n+1)(2n+1) + 2n(n+1) + n = n(n+1)\big(2n+1 + 2\big) + n = n(n+1)(2n+3) + n.
Também podemos juntar o +n como +n\cdot1; mas é mais direto continuar pela forma anterior. Agora isolamos \sum_{k=1}^{n} k^{3}:
4\sum_{k=1}^{n} k^{3} = (n+1)^{4}-1 - n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1) - n.
É trabalho de álgebra simplificar o lado direito; faremos passo a passo (sem pular etapas):
Calculemos (n+1)^{4}-1. Expansão:
(n+1)^{4}-1 = (n^{4} + 4n^{3} + 6n^{2} + 4n +1) -1 = n^{4} + 4n^{3} + 6n^{2} + 4n.
Agora subtrair os outros termos:
n(n+1)(2n+1) = 2n^{3} + 3n^{2} + n,
2n(n+1) = 2n^{2} + 2n.
Somando essas duas últimas:
(2n^{3} + 3n^{2} + n) + (2n^{2} + 2n) + n = 2n^{3} + (3n^{2}+2n^{2}) + (n+2n+n) = 2n^{3} + 5n^{2} + 4n.
Logo o lado direito total é
n^{4} + 4n^{3} + 6n^{2} + 4n \;-\; \big(2n^{3} + 5n^{2} + 4n\big) = n^{4} + (4n^{3}-2n^{3}) + (6n^{2}-5n^{2}) + (4n-4n)
= n^{4} + 2n^{3} + n^{2}.
Portanto
4\sum_{k=1}^{n} k^{3} = n^{4} + 2n^{3} + n^{2} = n^{2}(n^{2} + 2n + 1) = n^{2}(n+1)^{2}.
Dividindo por 4,
\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}.
Esta expressão pode ser reescrita de forma mais bonita, reconhecendo que \dfrac{n(n+1)}{2} é a soma dos primeiros n inteiros:
\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}.
Interpretação prática: a soma dos cubos dos primeiros n inteiros é o quadrado da soma dos primeiros n inteiros. Isso é um resultado clássico e muito útil na prova.

Passo 5

Um comentário pedagógico curto (útil para a prova): outra maneira de ver isso é usar indução direta na afirmação
\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^{2}.
A base n=1 funciona. Suponha válido para n, então ao passar para n+1 obtém-se
\sum_{k=1}^{n+1} k^{3} = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^{2} + (n+1)^{3},
e do outro lado
\left(\sum_{k=1}^{n+1} k\right)^{2} = \left(\sum_{k=1}^{n} k + (n+1)\right)^{2} = \left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^{2} + 2(n+1)\sum_{k=1}^{n} k + (n+1)^{2}.
Usando \sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2} e fazendo as contas, verifica-se que os dois lados coincidem, completando a indução. Essa via pode ser mais direta na prova, se preferir.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula para calcular S_{50}. Pela fórmula deduzida:
S_{n}=\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}.
Substituindo n=50:
\frac{50\cdot51}{2} = 25\cdot51 = 1275.
Então
S_{50} = 1275^{2}.
Calculando 1275^{2} (feito passo a passo ou com multiplicação):
1275^{2} = 1275\times1275 = 1\,625\,625.

Resposta

\displaystyle S_{n}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}
\displaystyle S_{50}=1625625

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