Questão 91. Deduza uma fórmula para cada uma das expressões abaixo e calcule o valor da soma dos 50 primeiros termos.
S_{n}=\sum_{i=1}^{n}(2 i-1)(3 i+1)

Passo 1

O enunciado dá a soma parcial
S_{n}=\sum_{i=1}^{n}(2i-1)(3i+1)
e pede duas coisas:
  • Deduzir uma fórmula geral para S_{n} válida para todo n.
  • Calcular o valor da soma dos 50 primeiros termos (ou seja, S_{50}).
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • O termo geral somado é (2i-1)(3i+1).
  • A soma vai de i=1 até i=n.
  • Precisamos de uma expressão fechada (fórmula) para S_{n} e depois avaliar essa fórmula em n=50.

Passo 2

Começo simplificando o termo genérico dentro da soma, expandindo o produto (2i-1)(3i+1). Faço multiplicação termo a termo:
(2i-1)(3i+1)=2i\cdot 3i + 2i\cdot 1 -1\cdot 3i -1\cdot 1.
Calculando cada parte:
2i\cdot 3i = 6i^{2},\qquad 2i\cdot 1=2i,\qquad -1\cdot 3i = -3i,\qquad -1\cdot 1=-1.
Somando:
(2i-1)(3i+1)=6i^{2}+(2i-3i)-1=6i^{2}-i-1.

Passo 3

Substituo essa expressão na soma:
S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\bigl(6i^{2}-i-1\bigr).
Como soma é linear, separo em somas conhecidas:
S_{n}=6\sum_{i=1}^{n}i^{2}\;-\;\sum_{i=1}^{n}i\;-\;\sum_{i=1}^{n}1.

Passo 4

Agora preciso das fórmulas básicas para as somas que aparecem. Primeiro a soma dos primeiros n inteiros:
\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}.
Pequena justificativa (pareamento): escrevendo a soma em ordem direta e inversa e somando termo a termo obtém-se 2\sum_{i=1}^{n}i = n(n+1), daí a fórmula acima. Aqui n é o número de termos e i é o índice que varre 1,2,\dots,n.
Também preciso da soma da constante 1 repetida n vezes:
\sum_{i=1}^{n}1 = n.
Isto é imediato: soma de n unidades.

Passo 5

Falta a fórmula para a soma dos quadrados:
\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Vou dar uma derivação curta e elegante usando telescopia de cubos. Note que
(i+1)^{3}-i^{3}=3i^{2}+3i+1.
Somando essa identidade para i=1 até i=n (lado esquerdo telescopa) dá:
\sum_{i=1}^{n}\bigl((i+1)^{3}-i^{3}\bigr)=(n+1)^{3}-1^{3}=(n+1)^{3}-1.
No lado direito:
\sum_{i=1}^{n}(3i^{2}+3i+1)=3\sum_{i=1}^{n}i^{2}+3\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n}1.
Portanto
(n+1)^{3}-1 = 3\sum_{i=1}^{n}i^{2}+3\cdot\frac{n(n+1)}{2}+n.
Isolando \sum_{i=1}^{n}i^{2} e simplificando obtém-se
\sum_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},
como desejado. Aqui todas as variáveis já estão explicadas: n é o número de termos.

Passo 6

Substituo as fórmulas em S_{n}=6\sum i^{2}-\sum i - n:
S_{n}=6\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \;-\; \frac{n(n+1)}{2} \;-\; n.
O primeiro termo simplifica porque o 6 cancela:
S_{n}=n(n+1)(2n+1) - \frac{n(n+1)}{2} - n.
Coloco tudo sobre um denominador comum para simplificar de forma organizada. Primeiro calculo (n+1)(2n+1):
(n+1)(2n+1)=2n^{2}+3n+1.
Então
n(n+1)(2n+1)=n(2n^{2}+3n+1)=2n^{3}+3n^{2}+n.
Agora escrevo os outros termos com denominador 2:
\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^{2}+n}{2},\qquad n=\frac{2n}{2}.
Assim, reescrevendo S_{n} com denominador 2:
S_{n}=\frac{2\bigl(2n^{3}+3n^{2}+n\bigr)}{2} - \frac{n^{2}+n}{2} - \frac{2n}{2}.
Junto tudo:
S_{n}=\frac{4n^{3}+6n^{2}+2n - n^{2}-n -2n}{2}=\frac{4n^{3}+5n^{2}-n}{2}.
Fatorando n fica uma forma talvez mais compacta:
S_{n}=\frac{n(4n^{2}+5n-1)}{2}.

Passo 7

Agora aplico a fórmula ao caso n=50. Substituo n=50 em
S_{n}=\frac{4n^{3}+5n^{2}-n}{2}.
Calculo passo a passo:
50^{2}=2500,\qquad 50^{3}=125000.
Então
4\cdot 50^{3}=4\cdot 125000=500000,
5\cdot 50^{2}=5\cdot 2500=12500,
e
4\cdot 50^{3}+5\cdot 50^{2}-50=500000+12500-50=512450.
Portanto o numerador é 512450. Dividindo por 2 obtém-se o valor final numérico (a seguir na seção de respostas).

Resposta

S_{n}=\frac{n(4n^{2}+5n-1)}{2}
S_{50}=256225

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