Questão 92. Calcule:
\sum_{k=1}^{n} k^{2} C_{n}^{k}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
\sum_{k=1}^{n} k^{2} \binom{n}{k}.
Informações que temos (todas as que precisamos):
  • n é um inteiro positivo.
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial usual, isto é, o número de maneiras de escolher k elementos dentre n.
  • A soma vai de k=1 até k=n (note que o termo k=0 vale 0 porque multiplica k^{2}, então podemos incluir k=0 sem mudar o resultado se for conveniente).

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta muito útil: a expansão binomial. Para a função
f(x)=(1+x)^{n}
vale a identidade (teorema binomial)
f(x)=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k}.
Isto significa que os coeficientes da série de f são exatamente os \binom{n}{k}. A ideia agora é transformar essa série para obter somas que envolvem k, k(k-1) e k^{2}. Para isso vamos usar derivadas da série: derivando termo a termo sabemos que derivar x^{k} produz um fator k, e derivar de novo produz fatores envolvendo k(k-1). Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Calcule a primeira derivada de f e relacione com a soma dos termos multiplicados por k. Derivando temos
f'(x)=\frac{d}{dx}(1+x)^{n}=n(1+x)^{n-1},
e, por derivação termo a termo da soma,
f'(x)=\sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} x^{\,k-1}.
Multiplicando por x obtemos
x f'(x)=\sum_{k=0}^{n} k \binom{n}{k} x^{k}.
Esta série no lado direito é exatamente a soma dos termos \,k\binom{n}{k}x^{k}\,.

Passo 4

Agora a segunda derivada. Derivando f'(x) temos
f''(x)=\frac{d}{dx}\big(n(1+x)^{n-1}\big)=n(n-1)(1+x)^{n-2},
e por derivação termo a termo da soma inicial
f''(x)=\sum_{k=0}^{n} k(k-1) \binom{n}{k} x^{\,k-2}.
Multiplicando por x^{2} obtemos
x^{2} f''(x)=\sum_{k=0}^{n} k(k-1) \binom{n}{k} x^{k}.
No lado direito está a soma dos termos k(k-1)\binom{n}{k}x^{k}.

Passo 5

Observe que para todo k vale a identidade elementar
k^{2}=k(k-1)+k.
Somando os dois somatórios obtidos nos passos anteriores (ou seja, somando x^{2}f''(x) e x f'(x)) obtemos o somatório com k^{2}:
x f'(x)+x^{2} f''(x)=\sum_{k=0}^{n} \big(k(k-1)+k\big)\binom{n}{k} x^{k} =\sum_{k=0}^{n} k^{2}\binom{n}{k} x^{k}.
Para conseguir a soma pedida basta avaliar essa expressão em x=1.

Passo 6

Agora calcule os lados explícitos em x=1. Usando as fórmulas encontradas para f' e f'',
f'(x)=n(1+x)^{n-1},\qquad f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2}.
Portanto, em x=1,
x f'(x)\Big|_{x=1}=1\cdot n(1+1)^{n-1}=n\cdot 2^{\,n-1},
x^{2} f''(x)\Big|_{x=1}=1^{2}\cdot n(n-1)(1+1)^{n-2}=n(n-1)\cdot 2^{\,n-2}.
Somando:
\sum_{k=0}^{n} k^{2}\binom{n}{k} = n\cdot 2^{\,n-1} + n(n-1)\cdot 2^{\,n-2}.

Passo 7

Agora simplificamos a expressão. Fatore 2^{\,n-2}:
n\cdot 2^{\,n-1} + n(n-1)\cdot 2^{\,n-2} =2^{\,n-2}\big(2n + n(n-1)\big).
Dentro do parêntese:
2n + n(n-1)=2n + n^{2}-n = n^{2}+n = n(n+1).
Assim
\sum_{k=0}^{n} k^{2}\binom{n}{k}=n(n+1)\,2^{\,n-2}.
Lembre que incluir k=0 não alterou o resultado porque o termo k^{2}\binom{n}{k} é zero para k=0. Portanto a soma pedida originalmente (de k=1 a n) é a mesma.

Passo 8

(Comentário didático curto e encorajador) Outra maneira rápida de ver esse resultado é pensar probabilisticamente: se K tem distribuição \mathrm{Binomial}(n,\tfrac12), então \mathbb{E}[K^{2}]=\mathrm{Var}(K)+(\mathbb{E}[K])^{2}=\tfrac{n}{4}+\tfrac{n^{2}}{4}=\tfrac{n(n+1)}{4}. Multiplicando por 2^{n} (o total de subconjuntos) dá a mesma soma. Ótimo trabalho até aqui — já está no resultado final!

Resposta

n(n+1)\,2^{\,n-2}

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