Questão 92. Calcule:
\sum_{k=0}^{n}(2 k-1)^{2}(k+1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
\sum_{k=0}^{n}(2k-1)^{2}(k+1).
Informações dadas:
  • A soma é sobre k de 0 até n.
  • O termo geral é (2k-1)^{2}(k+1).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o termo geral algebricamente (isso facilita somar depois). Desenvolvendo o quadrado e multiplicando por k+1:
(2k-1)^{2}=4k^{2}-4k+1,
(4k^{2}-4k+1)(k+1)=4k^{3}+4k^{2}-4k^{2}-4k+k+1=4k^{3}-3k+1.
Logo a soma fica
\sum_{k=0}^{n}(2k-1)^{2}(k+1)=\sum_{k=0}^{n}\bigl(4k^{3}-3k+1\bigr).

Passo 3

Vamos separar a soma em somas conhecidas:
\sum_{k=0}^{n}\bigl(4k^{3}-3k+1\bigr) =4\sum_{k=0}^{n}k^{3}-3\sum_{k=0}^{n}k+\sum_{k=0}^{n}1.
As três somas que precisamos são:
  • \displaystyle \sum_{k=0}^{n}1=n+1 (há n+1 termos).
  • \displaystyle \sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}. Breve prova: emparelhando termos 1+n,2+(n-1),\dots obtém-se n pares que somam n+1, daí o total \dfrac{n(n+1)}{2} (e incluindo k=0 não altera, pois soma de 0 é 0).
  • \displaystyle \sum_{k=0}^{n}k^{3}=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}. Pequena prova por indução: para n=1 vale; assumindo para n e somando (n+1)^{3} obtém-se
\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}+(n+1)^{3}=(n+1)^{2}\left(\frac{n^{2}}{4}+n+1\right)=(n+1)^{2}\left(\frac{(n+2)^{2}}{4}\right)=\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^{2},
logo vale para n+1, concluindo a indução.

Passo 4

Substituindo essas fórmulas na expressão:
4\sum_{k=0}^{n}k^{3}-3\sum_{k=0}^{n}k+\sum_{k=0}^{n}1 =4\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}-3\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)+(n+1).

Passo 5

Agora simplificamos passo a passo. Defina A=\dfrac{n(n+1)}{2}. Então a expressão é 4A^{2}-3A+(n+1).
Calcule 4A^{2}:
4\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}=n^{2}(n+1)^{2}.
Portanto
\sum_{k=0}^{n}(2k-1)^{2}(k+1)=n^{2}(n+1)^{2}-\frac{3}{2}n(n+1)+(n+1).
Colocando (n+1) em fator comum:
= (n+1)\Bigl(n^{2}(n+1)-\frac{3}{2}n+1\Bigr).
Para deixar sem frações, multiplica-se o fator interno por 2/2:
= \frac{n+1}{2}\bigl(2n^{3}+2n^{2}-3n+2\bigr).

Passo 6

Também podemos expandir totalmente para uma forma polinomial:
\sum_{k=0}^{n}(2k-1)^{2}(k+1)=n^{4}+2n^{3}-\tfrac{1}{2}n^{2}-\tfrac{1}{2}n+1,
ou, escrevendo com denominador comum,
\sum_{k=0}^{n}(2k-1)^{2}(k+1)=\frac{2n^{4}+4n^{3}-n^{2}-n+2}{2}.

Resposta

\frac{n+1}{2}\bigl(2n^{3}+2n^{2}-3n+2\bigr)

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