Questão 93. Calcule o valor de:
50 \cdot 51+51 \cdot 52+52 \cdot 53+\ldots+100 \cdot 101.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
50\cdot51 + 51\cdot52 + 52\cdot53 + \ldots + 100\cdot101.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Os termos são produtos do tipo k(k+1) com k variando de 50 até 100.
  • Precisa-se encontrar o valor numérico da soma desses termos.

Passo 2

Observação algébrica útil (essa é a chave): para qualquer inteiro k vale
k(k+1)=k^2+k.
Isso permite escrever a soma como a soma de quadrados mais a soma dos próprios números:
\sum_{k=50}^{100} k(k+1)=\sum_{k=50}^{100} k^2+\sum_{k=50}^{100} k.
Explicando por que isso ajuda: somas de potências (como \sum k e \sum k^2) têm fórmulas fechadas conhecidas que permitem calcular rapidamente sem fazer cada termo um a um.

Passo 3

Fórmula para a soma dos primeiros n inteiros e como usá-la:
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}.
Breve justificativa: emparelhando 1 com n, 2 com n-1, etc., cada par soma n+1 e há n/2 pares (ou raciocínio análogo para n ímpar).
Vamos usar essa fórmula para obter \sum_{k=50}^{100} k escrevendo como diferença entre somas desde 1:
\sum_{k=50}^{100} k = \sum_{k=1}^{100} k - \sum_{k=1}^{49} k.
Calculemos cada parcela:
\sum_{k=1}^{100} k = \frac{100\cdot101}{2} = \frac{10100}{2} = 5050,
\sum_{k=1}^{49} k = \frac{49\cdot50}{2} = \frac{2450}{2} = 1225.
Portanto
\sum_{k=50}^{100} k = 5050 - 1225 = 3825.

Passo 4

Fórmula para a soma dos quadrados dos primeiros n inteiros:
\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Comentário didático curto: essa fórmula pode ser provada por indução matemática ou obtida por métodos de somatórios (polinômios de Faulhaber). Aceite-a como ferramenta padrão para somas de quadrados.
Usamos a mesma ideia de diferença para a soma desejada:
\sum_{k=50}^{100} k^2 = \sum_{k=1}^{100} k^2 - \sum_{k=1}^{49} k^2.

Passo 5

Calculemos \sum_{k=1}^{100} k^2:
\sum_{k=1}^{100} k^2 = \frac{100\cdot101\cdot201}{6}.
Façamos as multiplicações passo a passo:
100\cdot101 = 10100,
10100\cdot201 = 10100\cdot(200+1)=10100\cdot200+10100 = 2\,020\,000 + 10\,100 = 2\,030\,100.
Agora dividir por 6:
\frac{2\,030\,100}{6} = 338\,350.
Logo
\sum_{k=1}^{100} k^2 = 338\,350.

Passo 6

Calculemos \sum_{k=1}^{49} k^2:
\sum_{k=1}^{49} k^2 = \frac{49\cdot50\cdot99}{6}.
Multiplicando em etapas:
49\cdot50 = 2450,
2450\cdot99 = 2450\cdot(100-1)=245\,000 - 2\,450 = 242\,550.
Dividindo por 6:
\frac{242\,550}{6} = 40\,425.
Portanto
\sum_{k=50}^{100} k^2 = 338\,350 - 40\,425 = 297\,925.

Passo 7

Agora juntamos as duas somas (quadrados e termos lineares):
\sum_{k=50}^{100} k(k+1) = \sum_{k=50}^{100} k^2 + \sum_{k=50}^{100} k = 297\,925 + 3\,825.
Somando:
297\,925 + 3\,825 = 301\,750.

Resposta

301\,750

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