Questão 93. Calcule o valor de:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma
Informações dadas e o que é pedido:
- Os termos são produtos do tipo
com variando de até . - Precisa-se encontrar o valor numérico da soma desses termos.
Passo 2
Observação algébrica útil (essa é a chave): para qualquer inteiro
vale
Isso permite escrever a soma como a soma de quadrados mais a soma dos próprios números:
Explicando por que isso ajuda: somas de potências (como
e
) têm fórmulas fechadas conhecidas que permitem calcular rapidamente sem fazer cada termo um a um.
Passo 3
Fórmula para a soma dos primeiros
inteiros e como usá-la:
Breve justificativa: emparelhando
com
,
com
, etc., cada par soma
e há
pares (ou raciocínio análogo para
ímpar).
Vamos usar essa fórmula para obter escrevendo como diferença entre somas desde
:
Vamos usar essa fórmula para obter
Calculemos cada parcela:
Portanto
Passo 4
Fórmula para a soma dos quadrados dos primeiros
inteiros:
Comentário didático curto: essa fórmula pode ser provada por indução matemática ou obtida por métodos de somatórios (polinômios de Faulhaber). Aceite-a como ferramenta padrão para somas de quadrados.
Usamos a mesma ideia de diferença para a soma desejada:
Usamos a mesma ideia de diferença para a soma desejada:
Passo 5
Calculemos
:
Façamos as multiplicações passo a passo:
Agora dividir por
:
Logo
Passo 6
Calculemos
:
Multiplicando em etapas:
Dividindo por
:
Portanto
Passo 7
Agora juntamos as duas somas (quadrados e termos lineares):
Somando: