Questão 96. Se
e
. Determine o valor das expressões:
a)
b)
.
a)
b)
Passo 1
Primeiro vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede, separando os dados e as perguntas.
Dados:
-
. -
. -
. -
.
O enunciado pede calcular:
a) .
b) . (Aqui interpreto
como
.)
a)
b)
Passo 2
Vou lembrar e explicar duas identidades que vou usar — devagarinho e com exemplos, como pediste.
Identidade 1 (Hockey-stick / “vara de hóquei”):
Intuição/comprovação curta: usando a identidade de Pascal
e somando, os termos se telescopam; combinatorialmente, é contar escolhas de
elementos dentre
escolhendo o maior elemento escolhido.
Identidade 2 (soma das binomiais):
Isto vem do desenvolvimento do binômio de Newton
.
Também uso a simetria:
útil para dividir somas ao redor do centro.
Passo 3
Calcular
.
Aplicando a identidade do hockey-stick com
e
:
Agora calculo
:
Portanto
.
Passo 4
Calcular
.
Uso que
. Então
Calculo os termos pequenos:
Somando:
. Logo
Observação rápida alternativa (pra fixar): como a distribuição é simétrica, uma forma curta é
. Ambas dão o mesmo resultado.
Passo 5
Agora posso somar
e
:
Passo 6
Calcular
.
Primeiro fator comum:
Como
, tem-se
. Portanto
Passo 7
Calcular
.
Observação:
(usando simetria
com
). Então
Mudo a variável: seja
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Agora aplico o hockey-stick com
e
:
Calculo
:
Logo
.
Passo 8
Calcular
.
Já tenho
e
. Calculo
. Usando simetria
e
Somando: