Questão 96. Se x=\sum_{k=2}^{7}\binom{k}{2} ; y=\sum_{k=4}^{8}\binom{8}{k} ; z=1+\sum_{k=1}^{6} 2\binom{6}{k} e w=\sum_{k=0}^{6}\binom{k+3}{k}. Determine o valor das expressões:
a) x+y
b) z+w+C_{9,6}.

Passo 1

Primeiro vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede, separando os dados e as perguntas.
Dados:
  • x=\sum_{k=2}^{7}\binom{k}{2}.
  • y=\sum_{k=4}^{8}\binom{8}{k}.
  • z=1+\sum_{k=1}^{6}2\binom{6}{k}.
  • w=\sum_{k=0}^{6}\binom{k+3}{k}.
O enunciado pede calcular:
a) x+y.
b) z+w+C_{9,6}. (Aqui interpreto C_{9,6} como \binom{9}{6}.)

Passo 2

Vou lembrar e explicar duas identidades que vou usar — devagarinho e com exemplos, como pediste.
Identidade 1 (Hockey-stick / “vara de hóquei”):
\sum_{k=r}^{n}\binom{k}{r}=\binom{n+1}{r+1}.
Intuição/comprovação curta: usando a identidade de Pascal \binom{k}{r}=\binom{k-1}{r}+\binom{k-1}{r-1} e somando, os termos se telescopam; combinatorialmente, é contar escolhas de r+1 elementos dentre n+1 escolhendo o maior elemento escolhido.
Identidade 2 (soma das binomiais):
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}.
Isto vem do desenvolvimento do binômio de Newton (1+1)^n.
Também uso a simetria:
\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k},
útil para dividir somas ao redor do centro.

Passo 3

Calcular x=\sum_{k=2}^{7}\binom{k}{2}.
Aplicando a identidade do hockey-stick com r=2 e n=7:
\sum_{k=2}^{7}\binom{k}{2}=\binom{7+1}{2+1}=\binom{8}{3}.
Agora calculo \binom{8}{3}:
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56.
Portanto x=56.

Passo 4

Calcular y=\sum_{k=4}^{8}\binom{8}{k}.
Uso que \sum_{k=0}^{8}\binom{8}{k}=2^{8}=256. Então
\sum_{k=4}^{8}\binom{8}{k}=256-\sum_{k=0}^{3}\binom{8}{k}.
Calculo os termos pequenos:
\binom{8}{0}=1,\quad \binom{8}{1}=8,\quad \binom{8}{2}=28,\quad \binom{8}{3}=56.
Somando: 1+8+28+56=93. Logo
y=256-93=163.
Observação rápida alternativa (pra fixar): como a distribuição é simétrica, uma forma curta é \sum_{k=4}^{8}\binom{8}{k}=2^{7}+\tfrac{1}{2}\binom{8}{4}=128+35=163. Ambas dão o mesmo resultado.

Passo 5

Agora posso somar x e y:
x+y=56+163=219.

Passo 6

Calcular z=1+\sum_{k=1}^{6}2\binom{6}{k}.
Primeiro fator comum:
z=1+2\sum_{k=1}^{6}\binom{6}{k}.
Como \sum_{k=0}^{6}\binom{6}{k}=2^{6}=64, tem-se \sum_{k=1}^{6}\binom{6}{k}=64-\binom{6}{0}=64-1=63. Portanto
z=1+2\cdot63=1+126=127.

Passo 7

Calcular w=\sum_{k=0}^{6}\binom{k+3}{k}.
Observação: \binom{k+3}{k}=\binom{k+3}{3} (usando simetria \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} com n=k+3). Então
w=\sum_{k=0}^{6}\binom{k+3}{3}.
Mudo a variável: seja n=k+3. Quando k=0 temos n=3; quando k=6 temos n=9. Assim
w=\sum_{n=3}^{9}\binom{n}{3}.
Agora aplico o hockey-stick com r=3 e n=9:
\sum_{n=3}^{9}\binom{n}{3}=\binom{10}{4}.
Calculo \binom{10}{4}:
\binom{10}{4}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=210.
Logo w=210.

Passo 8

Calcular z+w+\binom{9}{6}.
Já tenho z=127 e w=210. Calculo \binom{9}{6}. Usando simetria \binom{9}{6}=\binom{9}{3} e
\binom{9}{3}=\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}=84.
Somando:
z+w+\binom{9}{6}=127+210+84=421.

Resposta

a)\\\ 219
b)\\\ 421

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