Questão 97. Resolva os problemas a seguir:
Qual a soma dos coeficientes de \left(2 x^{3}-3 x^{2}+2 x+1\right)^{2019} ?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a soma dos coeficientes de \left(2 x^{3}-3 x^{2}+2 x+1\right)^{2019} ?”
Informações dadas:
  • O polinômio base é \;2 x^{3}-3 x^{2}+2 x+1\;.
  • Esse polinômio é elevado à potência \;2019\;.
  • A pergunta solicita a soma de todos os coeficientes do polinômio resultante.

Passo 2

Idéia chave (fato útil para a resolução): a soma dos coeficientes de um polinômio é igual ao valor do polinômio quando x=1.
Explicação e demonstração curta e didática:
  • Seja um polinômio genérico \;P(x)=\sum_{k=0}^{n} a_k x^k\;, onde cada a_k é um coeficiente.
  • A soma dos coeficientes é \;S=\sum_{k=0}^{n} a_k\;.
  • Se substituirmos x=1 em P(x) obtemos
P(1)=\sum_{k=0}^{n} a_k \cdot 1^k=\sum_{k=0}^{n} a_k = S.
Logo, para qualquer polinômio, calcular a soma dos coeficientes é exatamente avaliar o polinômio em x=1.
Exemplo rápido para fixar a ideia:
  • Tome \;R(x)=(x+2)^3\;. A soma dos coeficientes de R(x) é R(1)=(1+2)^3=27.
  • Se expandir (x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8, a soma 1+6+12+8=27 confirma a regra.

Passo 3

Aplicar a regra ao problema dado.
Defina \;Q(x)=2x^{3}-3x^{2}+2x+1\;.
A soma dos coeficientes de \;Q(x)^{2019}\; é \;Q(1)^{2019}\; (porque avaliando o polinômio elevado em x=1 obtemos a soma dos coeficientes).
Calcule \;Q(1):
Q(1)=2\cdot 1^{3}-3\cdot 1^{2}+2\cdot 1+1=2-3+2+1=2.
Portanto a soma dos coeficientes de \;Q(x)^{2019}\; é
Q(1)^{2019}=2^{2019}.

Passo 4

Comentário final e dica para a prova: sempre que a questão pedir “soma dos coeficientes” de um polinômio (ou de uma potência de polinômio), faça a substituição x=1 — é rápido, evita expansões gigantes e costuma ser a forma mais eficiente durante a prova. Você já resolveu o caso concreto: deu algo simples e elegante, \;2^{2019}\;. Força aí — isso é útil em muitas questões de combinatória e álgebra!

Resposta

2^{2019}

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