Questão 102 (OCM-1984). Considere o desenvolvimento de
como polinômio em potências de
. Encontre neste desenvolvimento o coeficiente de:
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede: encontrar o coeficiente de
no desenvolvimento de
em potências de
.
Informações relevantes dadas:
- A soma vai de
até . - Cada termo é
. - Precisa-se somar os coeficientes de
vindo de cada .
Passo 2
Lembrete útil: o Teorema do Binômio diz que, para inteiro
,
onde
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher
itens dentre
).
Portanto, o coeficiente de em
é
Portanto, o coeficiente de
para todo
. (Se
o coeficiente seria
, mas aqui
, então sempre vale a fórmula.)
Passo 3
Assim, o coeficiente procurado em
é a soma dos coeficientes de
em cada termo:
Vamos calcular
e
para obter
.
Passo 4
Fórmulas padrão (e o que significam):
- Soma dos primeiros
inteiros:
Aqui
é o maior inteiro na soma.
- Soma dos quadrados dos primeiros
inteiros:
Para somas de
de
a
usamos a diferença entre a soma até
e a soma até
.
Calcule
:
Passo 5
Calcule
:
Passo 6
Agora volte para
:
Passo 7
(Verificação alternativa, rápida e elegante) Existe a identidade telescópica
que implica
Logo
Calcule:
confirmando o resultado anterior.