Questão 102 (OCM-1984). Considere o desenvolvimento de p(x)=\sum_{n=10}^{100}(x+1)^{n} como polinômio em potências de x. Encontre neste desenvolvimento o coeficiente de:
x^{2}

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=\sum_{n=10}^{100}(x+1)^{n}
e pede: encontrar o coeficiente de x^{2} no desenvolvimento de p(x) em potências de x.
Informações relevantes dadas:
  • A soma vai de n=10 até n=100.
  • Cada termo é (x+1)^{n}.
  • Precisa-se somar os coeficientes de x^{2} vindo de cada (x+1)^{n}.

Passo 2

Lembrete útil: o Teorema do Binômio diz que, para inteiro n\ge0,
(1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k},
onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher k itens dentre n).
Portanto, o coeficiente de x^{2} em (1+x)^{n} é
\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2},
para todo n\ge2. (Se n<2 o coeficiente seria 0, mas aqui n\ge10, então sempre vale a fórmula.)

Passo 3

Assim, o coeficiente procurado em p(x) é a soma dos coeficientes de x^{2} em cada termo:
S=\sum_{n=10}^{100}\binom{n}{2}=\sum_{n=10}^{100}\frac{n(n-1)}{2}=\frac{1}{2}\sum_{n=10}^{100}(n^{2}-n).
Vamos calcular \sum_{n=10}^{100}n e \sum_{n=10}^{100}n^{2} para obter S.

Passo 4

Fórmulas padrão (e o que significam):
  • Soma dos primeiros N inteiros:
\sum_{k=1}^{N}k=\frac{N(N+1)}{2}.
Aqui N é o maior inteiro na soma.
  • Soma dos quadrados dos primeiros N inteiros:
\sum_{k=1}^{N}k^{2}=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.
Para somas de n de 10 a 100 usamos a diferença entre a soma até 100 e a soma até 9.
Calcule \sum_{n=10}^{100}n:
\sum_{n=1}^{100}n=\frac{100\cdot101}{2}=5050,
\sum_{n=1}^{9}n=\frac{9\cdot10}{2}=45,
\sum_{n=10}^{100}n=5050-45=5005.

Passo 5

Calcule \sum_{n=10}^{100}n^{2}:
\sum_{n=1}^{100}n^{2}=\frac{100\cdot101\cdot201}{6}=338350,
\sum_{n=1}^{9}n^{2}=\frac{9\cdot10\cdot19}{6}=285,
\sum_{n=10}^{100}n^{2}=338350-285=338065.

Passo 6

Agora volte para S:
S=\frac{1}{2}\biggl(\sum_{n=10}^{100}n^{2}-\sum_{n=10}^{100}n\biggr) =\frac{1}{2}\bigl(338065-5005\bigr) =\frac{1}{2}\cdot333060=166530.

Passo 7

(Verificação alternativa, rápida e elegante) Existe a identidade telescópica
\binom{n}{2}=\binom{n+1}{3}-\binom{n}{3},
que implica
\sum_{n=2}^{m}\binom{n}{2}=\binom{m+1}{3}.
Logo
\sum_{n=10}^{100}\binom{n}{2}=\sum_{n=2}^{100}\binom{n}{2}-\sum_{n=2}^{9}\binom{n}{2} =\binom{101}{3}-\binom{10}{3}.
Calcule:
\binom{101}{3}=\frac{101\cdot100\cdot99}{6}=166650, \qquad \binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{6}=120,
\binom{101}{3}-\binom{10}{3}=166650-120=166530,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

166530

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