Questão 6 - Acerca das seguintes funções polinomiais do 2^{\underline{\mathrm{O}}} grau abaixo, determine a posição da concavidade da parábola, os zeros, vértice, valor máximo ou mínimo.
g(t)=-\frac{t^{2}}{2}+8

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial do 2º grau
g(t) = -\frac{t^2}{2} + 8
e pede que a gente determine onde ela é côncava, quais são os zeros, o vértice e se existe valor máximo ou mínimo.

Passo 2

Para ver a concavidade, basta olhar o coeficiente de t^2 ou calcular a segunda derivada. Aqui o coeficiente de t^2 é -\tfrac12, que é negativo, ou seja, a parábola é voltada para baixo. Se quisermos usar derivadas:
g'(t) = -t, \qquad g''(t) = -1 < 0,
logo g é côncava para baixo em todo o domínio.

Passo 3

Os zeros vêm de resolver
-\frac{t^2}{2} + 8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{t^2}{2} = 8 \quad\Longrightarrow\quad t^2 = 16 \quad\Longrightarrow\quad t = \pm 4.

Passo 4

Para achar o vértice usamos a fórmula
t_{\text{v}} = -\frac{b}{2a},
onde a = -\tfrac12 e b = 0. Assim
t_{\text{v}} = -\frac{0}{2\cdot(-\tfrac12)} = 0.
O valor no vértice é
g(0) = -\frac{0^2}{2} + 8 = 8,
portanto o vértice é \bigl(0,8\bigr).

Passo 5

Como a = -\tfrac12 < 0, a parábola abre para baixo e esse vértice é um ponto de máximo. O valor máximo de g é 8, alcançado em t=0.

Resposta

Concavidade: para baixo
Zeros: t = -4 e t = 4
Vértice: \bigl(0,8\bigr)
Valor máximo: 8 (em t=0)

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