Questão 6: Ache a forma livre de polinômios redundantes e a forma fatorada dos polinômios:
c_{1} \otimes x^{(2)} \oplus 2 \otimes x^{(3)} \oplus 4 \otimes x^{(5)} \oplus 1 \otimes x^{(6)} \oplus 2 \otimes x^{(7)}

Passo 1

O enunciado dá o polinômio tropical
c_{1}\otimes x^{(2)} \oplus 2\otimes x^{(3)} \oplus 4\otimes x^{(5)} \oplus 1\otimes x^{(6)} \oplus 2\otimes x^{(7)}
e pede duas coisas:
  • a forma livre de polinômios redundantes (ou seja, eliminar termos que nunca contribuem para o máximo, na linguagem tropical);
  • a forma fatorada (fatorização tropical em fatores lineares, com multiplicidades).
Informações relevantes dadas:
  • os monômios são \,c_{1}\otimes x^{(2)},\;2\otimes x^{(3)},\;4\otimes x^{(5)},\;1\otimes x^{(6)},\;2\otimes x^{(7)}.
  • Em notação tropical cada monômio \,a\otimes x^{(k)} corresponde à função afim real \,x\mapsto a + kx (isto será usado para decidir redundância).

Passo 2

Rápida explicação da ideia que vou usar (sem hipóteses sobre o que você já sabe):
  • Na álgebra tropical \oplus é o máximo e \otimes é a soma usual. Assim o polinômio dado representa a função
P(x)=\max\{c_{1}+2x,\;2+3x,\;4+5x,\;1+6x,\;2+7x\}.
  • Um monômio é redundante se a reta afim correspondente \,a+kx nunca atinge o máximo (ou, no critério de forma livre que usamos aqui, se o ponto (k,a) estiver estritamente abaixo do fecho convexo superior dos pontos (\text{expoente},\text{coeficiente})).
  • Técnica prática: representar os pontos
(2,c_{1}),\;(3,2),\;(5,4),\;(6,1),\;(7,2)
no plano (\text{expoente},\text{coeficiente}) e determinar os vértices do fecho convexo superior (upper convex hull). Só os vértices correspondem a monômios não redundantes. Também é útil calcular as interseções das retas a_i + k_i x = a_j + k_j x, que são os pontos onde o monômio ativo muda (estas interseções serão as raízes tropicais para a fatoração).

Passo 3

Escrevendo explicitamente as funções afins (peguei estas expressões dos monômios do enunciado):
f_1(x)=c_{1}+2x,\quad f_2(x)=2+3x,\quad f_3(x)=4+5x,\quad f_4(x)=1+6x,\quad f_5(x)=2+7x.
As retas têm inclinações (slopes) 2,3,5,6,7 respectivamente. Para achar redundâncias calculo as interseções entre pares relevantes:
resolver f_i(x)=f_j(x)\Rightarrow x=\dfrac{a_i-a_j}{k_j-k_i}.
Calculemos as interseções necessárias:
  • entre f_1 e f_2:
c_{1}+2x=2+3x \Rightarrow x = c_{1}-2.
  • entre f_2 e f_3:
2+3x = 4+5x \Rightarrow x=-1.
  • entre f_3 e f_4:
4+5x = 1+6x \Rightarrow x=3.
  • entre f_4 e f_5:
1+6x = 2+7x \Rightarrow x=-1.
Observação: a interseção entre f_3 e f_5 também é útil (elas são vizinhas no fecho superior em muitos casos):
4+5x = 2+7x \Rightarrow x=1.

Passo 4

Agora aplico o critério do fecho convexo superior sobre os pontos (2,c_{1}), (3,2),(5,4),(6,1),(7,2). Vou testar ponto a ponto se ele fica abaixo da reta que une seus vizinhos (testes de interpolação linear). Esses testes dizem se um ponto interior é estritamente abaixo do segmento entre dois pontos à sua esquerda e à sua direita — nesse caso é redundante.
Testes (interpolação):
  • O ponto (5,4) comparado com (3,2) e (7,2): o valor da reta (3,2)\text{--}(7,2) em x=5 é
2 + \frac{2-2}{7-3}(5-3)=\;2,
e 4>2, logo (5,4) está acima do segmento: não é redundante (sempre um vértice do fecho superior).
  • O ponto (6,1) comparado com (5,4) e (7,2): o valor da reta (5,4)\text{--}(7,2) em x=6 é
4 + \frac{2-4}{7-5}(6-5)=3,
e 1<3, logo (6,1) fica abaixo do segmento: (6,1) é redundante (o monômio 1\otimes x^{(6)} nunca atinge o máximo).
  • O ponto (3,2) comparado com (2,c_{1}) e (5,4): o valor da reta (2,c_{1})\text{--}(5,4) em x=3 é
c_{1} + \frac{4-c_{1}}{5-2}\cdot(3-2)= c_{1} + \frac{4-c_{1}}{3}.
Comparando com 2 (valor em (3,2)): se
2 < c_{1} + \frac{4-c_{1}}{3}
então (3,2) fica abaixo do segmento e é redundante; reorganizando esta desigualdade obtém-se c_{1}\ge 1. Assim:
  • se c_{1}\ge 1 então (3,2) é redundante;
  • se c_{1}<1 então (3,2) não é redundante.
  • O ponto (2,c_{1}) comparado com (3,2) e (5,4): o valor da reta (3,2)\text{--}(5,4) em x=2 é
2 + \frac{4-2}{5-3}\cdot(2-3)=2-1=1.
Comparando com c_{1}: se c_{1}\le 1 então (2,c_{1}) está abaixo (ou sobre) essa reta e é redundante; se c_{1}>1 então (2,c_{1}) é vértice do fecho superior.
Resumo das conclusões (dos testes acima):
  • (6,1) sempre redundante → elimino 1\otimes x^{(6)}.
  • (5,4) sempre não redundante → mantenho 4\otimes x^{(5)}.
  • para (3,2) e (2,c_{1}) tenho dois regimes:
    • se c_{1}<1: (2,c_{1}) fica abaixo e (3,2) é vértice;
    • se c_{1}\ge 1: (3,2) fica abaixo (redundante) e (2,c_{1}) é vértice.

Passo 5

Portanto a forma livre de polinômios redundantes depende de c_{1}:
  • Se \;c_{1}<1\; a forma livre é
2\otimes x^{(3)} \oplus 4\otimes x^{(5)} \oplus 2\otimes x^{(7)}.
  • Se \;c_{1}\ge 1\; a forma livre é
c_{1}\otimes x^{(2)} \oplus 4\otimes x^{(5)} \oplus 2\otimes x^{(7)}.
(Em ambos os casos o termo 1\otimes x^{(6)} foi removido por ser sempre redundante; a troca entre os termos de grau 2 e 3 depende exatamente da comparação de c_{1} com 1.)

Passo 6

Explicando agora a fatoração tropical (ideia e como aplico):
  • Um polinômio tropical cujo fecho superior tem vértices em exponents k_0<k_1<\dots<k_m pode ser escrito (até notação tropical) como
\delta \otimes x^{(k_0)} \otimes \bigotimes_{j=0}^{m-1} \bigl(x \oplus r_j\bigr)^{\otimes (k_{j+1}-k_j)},
onde cada r_j é a coordenada x da interseção das retas afins correspondentes aos vértices j e j+1 (isto é, o ponto onde a inclinação da função muda), e \delta é escolhido igual ao coeficiente do monômio de maior expoente (isto garante compatibilidade dos coeficientes ao expandir). Em palavras: as multiplicidades são as diferenças de expoente entre vértices consecutivos e as raízes são as interseções das retas afins; o fator inicial x^{(k_0)} “alinha” o grau mínimo.
Vou aplicar essa receita aos dois regimes do Passo 5.

Passo 7

Caso \;c_{1}\ge 1\;.
  • Vértices (expoente,coef): (2,c_{1}),\;(5,4),\;(7,2).
  • As diferenças de expoente são 5-2=3 e 7-5=2; logo multiplicidades 3 e 2.
  • As interseções (raízes tropicais) entre as retas correspondentes foram calculadas antes:
    • interseção entre as retas de (2,c_{1}) e (5,4) (ou entre f_1 e f_3) é
    c_{1}+2x = 4+5x \Rightarrow x = \frac{c_{1}-4}{3}.
    • interseção entre as retas de (5,4) e (7,2) (ou entre f_3 e f_5) é
    4+5x = 2+7x \Rightarrow x = 1.
  • O coeficiente \delta toma o valor do coeficiente do monômio de maior expoente, que é 2 (coeficiente do x^{(7)}).
  • Aplicando a receita, a fatoração tropical é
2 \otimes x^{(2)} \otimes \bigl(x \oplus \tfrac{c_{1}-4}{3}\bigr)^{\otimes 3} \otimes \bigl(x \oplus 1\bigr)^{\otimes 2}.
Verificação rápida (intuição): ao expandir tropicalmente esse produto, o termo de maior expoente x^{(7)} obtém coeficiente 2 (quando se escolhe x em todos os fatores), e o termo de menor expoente x^{(2)} obtém coeficiente 2 + 3\cdot\frac{c_{1}-4}{3} + 2\cdot 1 = 2 + (c_{1}-4) + 2 = c_{1}, que coincide com o coeficiente original c_{1} — isso confirma a consistência.

Passo 8

Caso \;c_{1}<1\;.
  • Vértices: (3,2),\;(5,4),\;(7,2).
  • Diferenças de expoente: 5-3=2 e 7-5=2; multiplicidades 2 e 2.
  • Interseções (raízes):
    • entre os monômios de expoente 3 e 5 (isto é, f_2 e f_3): já calculado, x=-1.
    • entre os monômios de expoente 5 e 7: x=1 (como antes).
  • Coeficiente \delta é o coeficiente do maior expoente (novamente 2 em x^{(7)}).
  • A fatoração tropical fica então
2 \otimes x^{(3)} \otimes \bigl(x \oplus (-1)\bigr)^{\otimes 2} \otimes \bigl(x \oplus 1\bigr)^{\otimes 2}.
Verificação rápida (intuição): o termo de menor expoente x^{(3)} ao expandir recebe coeficiente 2 + 2\cdot(-1) + 2\cdot 1 = 2, que coincide com o coeficiente original do monômio 2\otimes x^{(3)}.

Passo 9

Resumo e interpretação final (para você decorar na prova):
  • Identifique os pontos (k,a) e construa mentalmente (ou no papel) o fecho convexo superior.
  • Pontos estritamente abaixo desse fecho são redundantes e podem ser eliminados.
  • As arestas do fecho dão as raízes tropicais (interseções); as diferenças de expoente nas arestas dão multiplicidades; o coeficiente do maior expoente é o fator multiplicativo \delta que fecha a fatoração.

Resposta

Se \;c_{1}<1\;:
\text{Forma livre: }2\otimes x^{(3)} \oplus 4\otimes x^{(5)} \oplus 2\otimes x^{(7)}
\text{Forma fatorada: }2 \otimes x^{(3)} \otimes \bigl(x \oplus (-1)\bigr)^{\otimes 2} \otimes \bigl(x \oplus 1\bigr)^{\otimes 2}
Se \;c_{1}\ge 1\;:
\text{Forma livre: }c_{1}\otimes x^{(2)} \oplus 4\otimes x^{(5)} \oplus 2\otimes x^{(7)}
\text{Forma fatorada: }2 \otimes x^{(2)} \otimes \bigl(x \oplus \tfrac{c_{1}-4}{3}\bigr)^{\otimes 3} \otimes \bigl(x \oplus 1\bigr)^{\otimes 2}

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