Questão 6: Ache a forma livre de polinômios redundantes e a forma fatorada dos polinômios:
Passo 1
O enunciado dá o polinômio tropical
e pede duas coisas:
- a forma livre de polinômios redundantes (ou seja, eliminar termos que nunca contribuem para o máximo, na linguagem tropical);
- a forma fatorada (fatorização tropical em fatores lineares, com multiplicidades).
Informações relevantes dadas:
- os monômios são
. - Em notação tropical cada monômio
corresponde à função afim real (isto será usado para decidir redundância).
Passo 2
Rápida explicação da ideia que vou usar (sem hipóteses sobre o que você já sabe):
- Na álgebra tropical
é o máximo e é a soma usual. Assim o polinômio dado representa a função
- Um monômio é redundante se a reta afim correspondente
nunca atinge o máximo (ou, no critério de forma livre que usamos aqui, se o ponto estiver estritamente abaixo do fecho convexo superior dos pontos ). - Técnica prática: representar os pontos
no plano
e determinar os vértices do fecho convexo superior (upper convex hull). Só os vértices correspondem a monômios não redundantes. Também é útil calcular as interseções das retas
, que são os pontos onde o monômio ativo muda (estas interseções serão as raízes tropicais para a fatoração).
Passo 3
Escrevendo explicitamente as funções afins (peguei estas expressões dos monômios do enunciado):
As retas têm inclinações (slopes)
respectivamente. Para achar redundâncias calculo as interseções entre pares relevantes:
resolver
.
Calculemos as interseções necessárias:
- entre
e :
- entre
e :
- entre
e :
- entre
e :
Observação: a interseção entre
e
também é útil (elas são vizinhas no fecho superior em muitos casos):
Passo 4
Agora aplico o critério do fecho convexo superior sobre os pontos
. Vou testar ponto a ponto se ele fica abaixo da reta que une seus vizinhos (testes de interpolação linear). Esses testes dizem se um ponto interior é estritamente abaixo do segmento entre dois pontos à sua esquerda e à sua direita — nesse caso é redundante.
Testes (interpolação):
- O ponto
comparado com e : o valor da reta em é
e
, logo
está acima do segmento: não é redundante (sempre um vértice do fecho superior).
- O ponto
comparado com e : o valor da reta em é
e
, logo
fica abaixo do segmento:
é redundante (o monômio
nunca atinge o máximo).
- O ponto
comparado com e : o valor da reta em é
Comparando com
(valor em
): se
então
fica abaixo do segmento e é redundante; reorganizando esta desigualdade obtém-se
. Assim:
- se
então é redundante; - se
então não é redundante. - O ponto
comparado com e : o valor da reta em é
Comparando com
: se
então
está abaixo (ou sobre) essa reta e é redundante; se
então
é vértice do fecho superior.
Resumo das conclusões (dos testes acima):
-
sempre redundante → elimino . -
sempre não redundante → mantenho . - para
e tenho dois regimes: - se
: fica abaixo e é vértice; - se
: fica abaixo (redundante) e é vértice.
- se
Passo 5
Portanto a forma livre de polinômios redundantes depende de
:
- Se
a forma livre é
- Se
a forma livre é
(Em ambos os casos o termo
foi removido por ser sempre redundante; a troca entre os termos de grau
e
depende exatamente da comparação de
com
.)
Passo 6
Explicando agora a fatoração tropical (ideia e como aplico):
- Um polinômio tropical cujo fecho superior tem vértices em exponents
pode ser escrito (até notação tropical) como
onde cada
é a coordenada
da interseção das retas afins correspondentes aos vértices
e
(isto é, o ponto onde a inclinação da função muda), e
é escolhido igual ao coeficiente do monômio de maior expoente (isto garante compatibilidade dos coeficientes ao expandir). Em palavras: as multiplicidades são as diferenças de expoente entre vértices consecutivos e as raízes são as interseções das retas afins; o fator inicial
“alinha” o grau mínimo.
Vou aplicar essa receita aos dois regimes do Passo 5.
Passo 7
Caso
.
- Vértices (expoente,coef):
. - As diferenças de expoente são
e ; logo multiplicidades e . - As interseções (raízes tropicais) entre as retas correspondentes foram calculadas antes:
- interseção entre as retas de
e (ou entre e ) é
- interseção entre as retas de
e (ou entre e ) é
- interseção entre as retas de
- O coeficiente
toma o valor do coeficiente do monômio de maior expoente, que é (coeficiente do ). - Aplicando a receita, a fatoração tropical é
Verificação rápida (intuição): ao expandir tropicalmente esse produto, o termo de maior expoente
obtém coeficiente
(quando se escolhe
em todos os fatores), e o termo de menor expoente
obtém coeficiente
, que coincide com o coeficiente original
— isso confirma a consistência.
Passo 8
Caso
.
- Vértices:
. - Diferenças de expoente:
e ; multiplicidades e . - Interseções (raízes):
- entre os monômios de expoente
e (isto é, e ): já calculado, . - entre os monômios de expoente
e : (como antes).
- entre os monômios de expoente
- Coeficiente
é o coeficiente do maior expoente (novamente em ). - A fatoração tropical fica então
Verificação rápida (intuição): o termo de menor expoente
ao expandir recebe coeficiente
, que coincide com o coeficiente original do monômio
.
Passo 9
Resumo e interpretação final (para você decorar na prova):
- Identifique os pontos
e construa mentalmente (ou no papel) o fecho convexo superior. - Pontos estritamente abaixo desse fecho são redundantes e podem ser eliminados.
- As arestas do fecho dão as raízes tropicais (interseções); as diferenças de expoente nas arestas dão multiplicidades; o coeficiente do maior expoente é o fator multiplicativo
que fecha a fatoração.
Resposta
Se
:
Se
: